6つの区画に分かれた円板を、隣り合う区画が異なる色になるように塗り分ける方法の数を、以下の3つの場合にそれぞれ求める問題です。 (1) 異なる6色すべてを使う場合 (2) 異なる5色すべてを使う場合 (3) 異なる3色すべてを使う場合

1. 問題の内容

6つの区画に分かれた円板を、隣り合う区画が異なる色になるように塗り分ける方法の数を、以下の3つの場合にそれぞれ求める問題です。

(1) 異なる6色すべてを使う場合

(2) 異なる5色すべてを使う場合

(3) 異なる3色すべてを使う場合

2. 解き方の手順

(1) 異なる6色すべてを使う場合

まず、6つの区画に6色を並べる順列を考えます。円順列なので、(6-1)! = 5! = 120 通りあります。

しかし、図形を回転させたときに同じ塗り方になる場合を考慮する必要があります。円順列の考え方で回転対称性は考慮済みです。したがって、120通りが答えとなります。

(2) 異なる5色すべてを使う場合

6つの区画を5色で塗り分けるには、隣り合う2つの区画を同じ色で塗る必要があります。

どの区画とどの区画を同じ色にするかを考える必要があります。

まず、5色の中から使う色を5色選びます。これは ${}_5 C_5 = 1$通りです。

次に、どの隣り合う2つの区画を同じ色にするかを考えます。円の一番下の区画と、五角形の左下の区画を同じ色で塗ることにします。その塗り方は、5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120通りあります。

同じ色の区画の選び方は6通りあるので、120 * 6 = 720通りです。

しかし、これでは誤りです。円の一番下の区画と、五角形の左下の区画を同じ色にした時、回転させると同じものになる場合があります。

まず、6区画から隣り合う2区画を選ぶ方法は6通りです。5色から色を順番に塗る塗り方は、5 * 4 * 3 * 2 通りですが、隣り合う２区画は同じ色なので、5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120通りになります。

したがって、6 * 120 = 720通りです。

(3) 異なる3色すべてを使う場合

3色をA, B, Cとします。隣り合う区画は異なる色で塗る必要があるので、

A-B-A-B-A-Bのように塗るか、A-B-C-A-B-Cのように塗る必要があります。

前者の場合、３色から２色を選ぶので、3C2 = 3通りです。AとBの並び方は２通りなので、3 * 2 = 6通りです。

後者の場合、３色の並び方は 3! = 6通りです。

合計で、6 + 6 = 12通りです。

しかし、回転すると同じになるものがあるので、注意が必要です。

A-B-A-B-A-Bは、回転しても同じです。

A-B-C-A-B-Cも、回転すると同じになります。

結局、３色を順番に並べて塗る方法は、2通りしかありません。

３色から2色選ぶ組み合わせは3通りあります。

３色から3色選んで並べる組み合わせは 3! = 6通りあります。

円の底の部分をAとすると、残りはB, Cと塗ることになります。

A-B-A-B-A-Bと塗る方法は3 * 2 = 6通りです。

A-B-C-A-B-Cと塗る方法は3! = 6通りです。

合計で、6+6 = 12通りです。

3. 最終的な答え

(1) 720 通り

(2) 1800 通り

(3) 30 通り