6個の文字B, A, N, A, N, Aを1列に並べる。 (1) 文字の列は全部で何通りあるか。 (2) 文字の列のどこかに、N, A, Nの3つの文字がこの順に連続して隣り合っているものは全部で何通りあるか。 (3) 文字の列のどこにおいても文字Aが隣り合っていないものは全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

6個の文字B, A, N, A, N, Aを1列に並べる。

(1) 文字の列は全部で何通りあるか。

(2) 文字の列のどこかに、N, A, Nの3つの文字がこの順に連続して隣り合っているものは全部で何通りあるか。

(3) 文字の列のどこにおいても文字Aが隣り合っていないものは全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並べ方の総数

6個の文字を並べる順列の総数を求める。同じ文字が3つのAと2つのNがあるので、重複順列の公式を用いる。

全体の並べ方は、

$\frac{6!}{3!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{720}{12} = 60$通り

(2) N, A, Nが連続して隣り合っている場合

N, A, Nを1つのまとまりと考えると、残りの文字はB, A, A。したがって、N, A, N, B, A, Aの5つのものを並べる順列を考える。Aが2つあるので、

$\frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = \frac{120}{2} = 60$通り

(3) Aが隣り合わない場合

まず、A以外のB, N, Nを並べる。

B, N, Nの並べ方は、$\frac{3!}{2!} = \frac{6}{2} = 3$通り。

これらは例えば、NBNのように並ぶ。

このとき、Aが入る場所は、並んだ文字の両端と間。

つまり、4つの場所から3つ選んでAを並べる。

NBNの4つの場所を_N_B_N_とすると、_にAを入れる。

例えばANBANとなる。

すると残った場所の数は4箇所なので、

$_{4}C_{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$

NBNのように並べたときのAの入り方は$_{4}C_{3} = 4$通り。

BNNのように並べたときのAの入り方も$_{4}C_{3} = 4$通り。

NNBのように並べたときのAの入り方も$_{4}C_{3} = 4$通り。

したがって、$3 \times 4 = 12$通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 60通り

(3) 12通り