長さLの片持ち梁が、線形に変化する分布荷重を受けています。分布荷重は、自由端(A)で0、固定端(B)でωです。この梁の軸力図(N図)、せん断力図(Q図)、曲げモーメント図(M図)を描きます。

1. 問題の内容

長さLの片持ち梁が、線形に変化する分布荷重を受けています。分布荷重は、自由端(A)で0、固定端(B)でωです。この梁の軸力図(N図)、せん断力図(Q図)、曲げモーメント図(M図)を描きます。

2. 解き方の手順

(1) 座標の設定

自由端Aを原点として、梁の長手方向にx軸を設定します。

(2) 軸力図(N図)

梁に軸方向の荷重が作用していないため、軸力は常に0です。

よって、軸力図は0の直線になります。

(3) せん断力図(Q図)

$x$における分布荷重の大きさ $w(x)$ は、$w(x) = \frac{\omega}{L}x$ と表されます。

$x$までの荷重の合計（＝せん断力）を$Q(x)$とすると、

$Q(x) = -\int_0^x w(x) dx = -\int_0^x \frac{\omega}{L}x dx = -\frac{\omega}{L} \frac{x^2}{2} = -\frac{\omega x^2}{2L}$

したがって、せん断力は$x$の2次関数となります。

$x=0$ (A点) では $Q(0) = 0$

$x=L$ (B点) では $Q(L) = -\frac{\omega L^2}{2L} = -\frac{\omega L}{2}$

せん断力図は、原点を通る下に凸の二次曲線になり、B点では $-\frac{\omega L}{2}$ となります。

(4) 曲げモーメント図(M図)

$x$までの曲げモーメントを$M(x)$とすると、せん断力$Q(x)$を積分することで求められます。

$M(x) = \int_0^x Q(x) dx = \int_0^x -\frac{\omega x^2}{2L} dx = -\frac{\omega}{2L} \frac{x^3}{3} = -\frac{\omega x^3}{6L}$

したがって、曲げモーメントは$x$の3次関数となります。

$x=0$ (A点) では $M(0) = 0$

$x=L$ (B点) では $M(L) = -\frac{\omega L^3}{6L} = -\frac{\omega L^2}{6}$

曲げモーメント図は、原点を通る下に凸の三次曲線になり、B点では $-\frac{\omega L^2}{6}$ となります。

曲げモーメントは負の値なので、引張側は上側になります。

3. 最終的な答え

* 軸力図(N図): 0の直線

* せん断力図(Q図): A点で0、B点で$-\frac{\omega L}{2}$となる下に凸の二次曲線

* 曲げモーメント図(M図): A点で0、B点で$-\frac{\omega L^2}{6}$となる下に凸の三次曲線。引張側は上側。