(1) 等差数列 $\{a_n\}$ について、$a_1 + a_2 + a_3 = -12$ と $a_1a_2a_3 = 80$ が与えられている。このとき、初項、公差、初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 (2) $xy$ 平面において、点 A の座標が $(-1, 1)$ であり、点 B は曲線 $y = x^2$ 上を動く。内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ を最小にする点 B の座標と、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角 $\theta$ について、$\cos \theta$ の値を求めよ。 (3) 定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 4x + 2x + 3) dx$ を求めよ。 (4) 関数 $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x + \log_3 (x+3) + \log_3 (3-x)$ において、$x$ のとりうる値の範囲と、$f(x)$ が最大値をとる時の $x$ の値と最大値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ について、$a_1 + a_2 + a_3 = -12$ と $a_1a_2a_3 = 80$ が与えられている。このとき、初項、公差、初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

(2) $xy$ 平面において、点 A の座標が $(-1, 1)$ であり、点 B は曲線 $y = x^2$ 上を動く。内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ を最小にする点 B の座標と、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角 $\theta$ について、$\cos \theta$ の値を求めよ。

(3) 定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 4x + 2x + 3) dx$ を求めよ。

(4) 関数 $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x + \log_3 (x+3) + \log_3 (3-x)$ において、$x$ のとりうる値の範囲と、$f(x)$ が最大値をとる時の $x$ の値と最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項を $a_n = a_1 + (n-1)d$ とおく。

$a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d = -12$ より、

$a_1 + d = -4$ となる。また、$a_2 = a_1 + d = -4$ である。

$a_1a_2a_3 = a_1(-4)a_3 = 80$ より、$a_1a_3 = -20$ である。

$a_3 = a_1 + 2d$ なので、$a_1(a_1 + 2d) = -20$ である。

$a_1 + d = -4$ より、$d = -4 - a_1$ である。

$a_1(a_1 + 2(-4 - a_1)) = a_1(a_1 - 8 - 2a_1) = a_1(-a_1 - 8) = -20$

$-a_1^2 - 8a_1 = -20$ より、$a_1^2 + 8a_1 - 20 = 0$

$(a_1 + 10)(a_1 - 2) = 0$ より、$a_1 = -10$ または $a_1 = 2$ である。

$d$ は正の整数であるから、$a_1 = -10$ のとき $d = -4 - (-10) = 6$

$a_1 = 2$ のとき $d = -4 - 2 = -6$ なので不適。

したがって、$a_1 = -10$ であり、$d = 6$ である。

等差数列の和は $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(-10) + (n-1)6) = \frac{n}{2}(-20 + 6n - 6) = \frac{n}{2}(6n - 26) = n(3n - 13) = 3n^2 - 13n$

(2)

点 B の座標を $(x, x^2)$ とおく。

$\overrightarrow{OA} = (-1, 1)$ であり、$\overrightarrow{OB} = (x, x^2)$ である。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -x + x^2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ である。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ を最小にする $x$ は $x = \frac{1}{2}$ である。

したがって、点 B の座標は $(\frac{1}{2}, (\frac{1}{2})^2) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ である。

このとき、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$ である。

$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ であり、

$|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$ である。

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|} = \frac{-\frac{1}{4}}{\sqrt{2} \frac{\sqrt{5}}{4}} = \frac{-1}{\sqrt{2} \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}$

(3)

$\int_{-1}^{1} (x^2 - 4x + 2x + 3) dx = \int_{-1}^{1} (x^2 - 2x + 3) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3} - 1 + 3) - (-\frac{1}{3} - 1 - 3) = \frac{1}{3} - 1 + 3 + \frac{1}{3} + 1 + 3 = \frac{2}{3} + 6 = \frac{20}{3}$

(4)

真数条件より、$x > 0, x + 3 > 0, 3 - x > 0$ であるから、$0 < x < 3$ である。

$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x + \log_3 (x+3) + \log_3 (3-x) = -\log_2 x + \log_3 ((x+3)(3-x)) = -\log_2 x + \log_3 (9 - x^2)$ である。

3. 最終的な答え

(1) 初項：-10, 公差：6, 和：$3n^2 - 13n$

(2) B の座標：$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, $\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{10}}$

(3) $\frac{20}{3}$

(4) $0 < x < 3$