ある商品を1個200円で仕入れ、通常は250円で売ると1日に600個売れる。1円値下げするごとに売上個数は15個増え、1円値上げするごとに売上個数は15個減る。1日の利益を最大にする仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める。

1. 問題の内容

ある商品を1個200円で仕入れ、通常は250円で売ると1日に600個売れる。1円値下げするごとに売上個数は15個増え、1円値上げするごとに売上個数は15個減る。1日の利益を最大にする仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める。

2. 解き方の手順

* 売り値を $x$ 円とすると、値下げ額は $250 - x$ 円となる。

* 売上個数は $600 + 15(250 - x)$ 個となる。ただし、$x \le 250$とする。

* 利益は、（売上）－（仕入れ）で計算できる。仕入れ個数は売上個数と同じなので、$600 + 15(250 - x)$となる。

* 利益 $P$ は以下の式で表される。

$P = x(600 + 15(250 - x)) - 200(600 + 15(250 - x))$

* $P$ を整理すると、

$P = (x - 200)(600 + 15(250 - x))$

$P = (x - 200)(600 + 3750 - 15x)$

$P = (x - 200)(4350 - 15x)$

$P = -15x^2 + 7350x - 870000$

* $P$ を最大にする $x$ を求めるために、平方完成する。

$P = -15(x^2 - 490x) - 870000$

$P = -15(x^2 - 490x + (490/2)^2 - (490/2)^2) - 870000$

$P = -15(x - 245)^2 + 15(245)^2 - 870000$

$P = -15(x - 245)^2 + 15(60025) - 870000$

$P = -15(x - 245)^2 + 900375 - 870000$

$P = -15(x - 245)^2 + 30375$

* $x = 245$ のとき、$P$ は最大値 $30375$ をとる。

* このとき、売上個数は $600 + 15(250 - 245) = 600 + 15(5) = 600 + 75 = 675$ 個となる。

3. 最終的な答え

仕入れ個数：675個

1個あたりの売り値：245円