男子15人からなる団体Aがキャンプ場でテントを借りる。6人用テントは1張り1500円、4人用テントは1張り1200円である。団体Aは、6人用テントを6人以下、4人用テントを4人以下で使用する。テントの貸し出し料金の合計を最も安くするためには、6人用テントと4人用テントをそれぞれ何張り借りればよいか。

1. 問題の内容

男子15人からなる団体Aがキャンプ場でテントを借りる。6人用テントは1張り1500円、4人用テントは1張り1200円である。団体Aは、6人用テントを6人以下、4人用テントを4人以下で使用する。テントの貸し出し料金の合計を最も安くするためには、6人用テントと4人用テントをそれぞれ何張り借りればよいか。

2. 解き方の手順

まず、6人用テントの張数を $x$ 、4人用テントの張数を $y$ とおく。

団体の人数は15人なので、以下の不等式が成り立つ。

$6x + 4y \ge 15$

また、テントの張数は0以上の整数である必要があるため、$x \ge 0$、$y \ge 0$の整数である。

テントの貸し出し料金の合計 $C$ は、以下の式で表される。

$C = 1500x + 1200y$

この $C$ を最小化するような $x$ と $y$ の組み合わせを考える。

$6x + 4y \ge 15$ を満たす整数 $x$ と $y$ の組み合わせをいくつか試してみる。

- $x = 0$ のとき、$4y \ge 15$ より $y \ge 3.75$なので、$y = 4$。このとき、$C = 1200 \times 4 = 4800$

- $x = 1$ のとき、$6 + 4y \ge 15$ より $4y \ge 9$なので、$y \ge 2.25$なので、$y = 3$。このとき、$C = 1500 \times 1 + 1200 \times 3 = 1500 + 3600 = 5100$

- $x = 2$ のとき、$12 + 4y \ge 15$ より $4y \ge 3$なので、$y \ge 0.75$なので、$y = 1$。このとき、$C = 1500 \times 2 + 1200 \times 1 = 3000 + 1200 = 4200$

- $x = 3$ のとき、$18 + 4y \ge 15$ より $4y \ge -3$なので、$y \ge -0.75$なので、$y = 0$。このとき、$C = 1500 \times 3 + 1200 \times 0 = 4500$ (しかし、6人x3張り = 18人となり、15人をオーバーしてしまうので、条件を満たさない)

$6x+4y \ge 15$を満たしかつ、$x,y \ge 0$で、$x,y$が整数である組み合わせを考えると

$6x + 4y \ge 15$より、$3x+2y \ge 7.5$

$x=0$のとき、$y \ge 3.75$なので$y=4$。料金は$1200*4=4800$円

$x=1$のとき、$3+2y \ge 7.5$なので、$2y \ge 4.5$なので$y \ge 2.25$なので$y=3$。料金は$1500+1200*3=5100$円

$x=2$のとき、$6+2y \ge 7.5$なので、$2y \ge 1.5$なので$y \ge 0.75$なので$y=1$。料金は$1500*2+1200=4200$円

$x=3$のとき、$9+2y \ge 7.5$なので、$2y \ge -1.5$なので$y=0$。しかし、$6*3=18>15$なので不適

したがって、6人用テント2張り、4人用テント1張りが最も安くなる。

3. 最終的な答え

6人用テント2張り、4人用テント1張り