高さ44.1mの崖の上から、水平方向に25.0m/sの速さで小石を投げ出した。小石が海面に落下するまでの時間、水平距離、落下時の速度の鉛直成分、および速度の向きと大きさをそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

高さ44.1mの崖の上から、水平方向に25.0m/sの速さで小石を投げ出した。小石が海面に落下するまでの時間、水平距離、落下時の速度の鉛直成分、および速度の向きと大きさをそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 小石が海面に落下するまでの時間

鉛直方向の運動は自由落下とみなせるので、落下距離 $y$ は、時間 $t$ と重力加速度 $g$ を用いて

$y = \frac{1}{2}gt^2$

と表されます。

$y = 44.1 \text{ m}$、$g = 9.8 \text{ m/s}^2$ を代入して、$t$ について解きます。

$44.1 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$

$t^2 = \frac{44.1 \times 2}{9.8} = 9$

$t = \sqrt{9} = 3 \text{ s}$

(2) 投げ出した点から落下した海面までの水平距離

水平方向の速度は一定なので、水平距離 $x$ は、水平速度 $v_x$ と落下時間 $t$ を用いて

$x = v_x t$

と表されます。

$v_x = 25.0 \text{ m/s}$、$t = 3 \text{ s}$ を代入して、$x$ を計算します。

$x = 25.0 \times 3 = 75 \text{ m}$

(3) 海面に落下したときの、小石の速度の鉛直成分

鉛直方向の速度 $v_y$ は、重力加速度 $g$ と落下時間 $t$ を用いて

$v_y = gt$

と表されます。

$g = 9.8 \text{ m/s}^2$、$t = 3 \text{ s}$ を代入して、$v_y$ を計算します。

$v_y = 9.8 \times 3 = 29.4 \text{ m/s}$

(4) 海面に落下したときの、小石の速度の向きと大きさ

速度の大きさ $v$ は、水平方向の速度 $v_x$ と鉛直方向の速度 $v_y$ を用いて

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

と表されます。

$v_x = 25.0 \text{ m/s}$、$v_y = 29.4 \text{ m/s}$ を代入して、$v$ を計算します。

$v = \sqrt{25.0^2 + 29.4^2} = \sqrt{625 + 864.36} = \sqrt{1489.36} \approx 38.6 \text{ m/s}$

速度の向き $\theta$ は、$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ を満たします。

$\tan \theta = \frac{29.4}{25.0} = 1.176$

$\theta = \arctan(1.176) \approx 49.6^\circ$

3. 最終的な答え

(1) 3秒後

(2) 75 m

(3) 29.4 m/s

(4) 大きさ: 38.6 m/s, 向き: 水平面から約49.6°