$\sqrt{540a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{540a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、540を素因数分解します。

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

$\sqrt{540a} = \sqrt{2^2 \times 3^3 \times 5 \times a}$

$\sqrt{540a}$ が自然数になるためには、根号の中が平方数になる必要があります。つまり、$2^2 \times 3^3 \times 5 \times a$ が平方数である必要があります。

そのためには、$a$ が $3 \times 5 = 15$ の倍数であればよいです。

したがって、$a = 3 \times 5 \times k^2$ ($k$は自然数) の形であれば良いことになります。

最も小さい自然数 $a$ を求めたいので、$k=1$ の場合を考えます。

$a = 3 \times 5 = 15$

このとき、

$\sqrt{540a} = \sqrt{2^2 \times 3^3 \times 5 \times 15} = \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 5^2} = 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90$

となり、自然数になります。

3. 最終的な答え

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