$\sqrt{\frac{80n}{3}}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{80n}{3}}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{80n}{3}}$ が自然数になるためには、$\frac{80n}{3}$ がある自然数の2乗になる必要があります。

まず、80を素因数分解します。

$80 = 2^4 \times 5$

したがって、$\frac{80n}{3} = \frac{2^4 \times 5 \times n}{3}$ となります。

$\frac{2^4 \times 5 \times n}{3}$ がある自然数の2乗になるためには、分母の3が約分され、分子の各素数の指数が偶数である必要があります。

そのため、$n$ は少なくとも3と5を素因数に持つ必要があります。

つまり、$n = 3 \times 5 \times k^2$ ($k$は自然数)の形である必要があります。

最も小さい $n$ を求めるには、$k=1$ とすれば良いので、$n = 3 \times 5 = 15$ となります。

実際に、$n=15$ を代入すると、

$\sqrt{\frac{80 \times 15}{3}} = \sqrt{\frac{2^4 \times 5 \times 3 \times 5}{3}} = \sqrt{2^4 \times 5^2} = \sqrt{(2^2 \times 5)^2} = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$

となり、確かに自然数になります。

3. 最終的な答え

15