540をできるだけ小さい数で割って、ある整数の2乗にするためには、どんな数で割れば良いか。また、割った結果はどんな整数の2乗になるか。

1. 問題の内容

540をできるだけ小さい数で割って、ある整数の2乗にするためには、どんな数で割れば良いか。また、割った結果はどんな整数の2乗になるか。

2. 解き方の手順

まず、540を素因数分解します。

$540 = 2 \times 270 = 2 \times 2 \times 135 = 2 \times 2 \times 3 \times 45 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 3 \times 5$

ある数の2乗にするためには、素因数分解したときに、すべての素数の指数が偶数になる必要があります。

現在の指数は2, 3, 1です。

指数が奇数である3と5をそれぞれ割れば、すべての指数が偶数になります。

つまり、$3 \times 5 = 15$ で割れば、ある整数の2乗になります。

実際に割ってみると、

$540 \div 15 = 36$

$36 = 6^2$

3. 最終的な答え

540を割るべき数は15です。

割った結果は、$6^2$、つまり36です。