互いに異なる6個の薬品を3つのグループに分ける方法について、以下の3つの場合における分け方の総数を求める問題です。 1) 1個、2個、3個のグループに分ける場合 2) 1個、1個、4個のグループに分ける場合 3) 2個、2個、2個のグループに分ける場合

1. 問題の内容

互いに異なる6個の薬品を3つのグループに分ける方法について、以下の3つの場合における分け方の総数を求める問題です。

1) 1個、2個、3個のグループに分ける場合

2) 1個、1個、4個のグループに分ける場合

3) 2個、2個、2個のグループに分ける場合

2. 解き方の手順

1) 1個、2個、3個のグループに分ける場合

まず、6個から1個を選ぶ組み合わせは $_6C_1$ 通りです。

次に、残りの5個から2個を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ 通りです。

最後に、残りの3個から3個を選ぶ組み合わせは $_3C_3$ 通りです。

したがって、この場合の分け方の総数は、

$_6C_1 \times _5C_2 \times _3C_3 = \frac{6!}{1!5!} \times \frac{5!}{2!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = 6 \times 10 \times 1 = 60$ 通りです。

2) 1個、1個、4個のグループに分ける場合

まず、6個から1個を選ぶ組み合わせは $_6C_1$ 通りです。

次に、残りの5個から1個を選ぶ組み合わせは $_5C_1$ 通りです。

最後に、残りの4個から4個を選ぶ組み合わせは $_4C_4$ 通りです。

ただし、1個のグループが2つあるので、グループの区別をなくすために2!で割る必要があります。

したがって、この場合の分け方の総数は、

$\frac{_6C_1 \times _5C_1 \times _4C_4}{2!} = \frac{\frac{6!}{1!5!} \times \frac{5!}{1!4!} \times \frac{4!}{4!0!}}{2} = \frac{6 \times 5 \times 1}{2} = \frac{30}{2} = 15$ 通りです。

3) 2個、2個、2個のグループに分ける場合

まず、6個から2個を選ぶ組み合わせは $_6C_2$ 通りです。

次に、残りの4個から2個を選ぶ組み合わせは $_4C_2$ 通りです。

最後に、残りの2個から2個を選ぶ組み合わせは $_2C_2$ 通りです。

ただし、2個のグループが3つあるので、グループの区別をなくすために3!で割る必要があります。

したがって、この場合の分け方の総数は、

$\frac{_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{3!} = \frac{\frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{6} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = \frac{90}{6} = 15$ 通りです。

3. 最終的な答え

1) 60通り

2) 15通り

3) 15通り