$\sqrt{5} + \sqrt{3}$ の整数部分を求める問題です。京子さんのノートと太郎さんのノートの2通りの解き方が示されています。

1. 問題の内容

$\sqrt{5} + \sqrt{3}$ の整数部分を求める問題です。京子さんのノートと太郎さんのノートの2通りの解き方が示されています。

2. 解き方の手順

**【京子さんのノート】**

$\sqrt{5}$ と $\sqrt{3}$ のおおよその値を求めます。

$4 < 5 < 9$ より、$2 < \sqrt{5} < 3$ (ア=2, イ=3)。

$1 < 3 < 4$ より、$1 < \sqrt{3} < 2$ (ウ=1, エ=2)。

これらの不等式の各辺を足すと、

$2+1 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 3+2$

$3 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 5$

**【太郎さんのノート】**

$\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を2乗します。

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$ (オ=8, カキ=15)

ここで、$9 < 15 < 16$ より、$3 < \sqrt{15} < 4$ (ク=3, ケ=4)

よって、$2 \times 3 < 2\sqrt{15} < 2 \times 4$。つまり $6 < 2\sqrt{15} < 8$。

したがって、$8+6 < 8+2\sqrt{15} < 8+8$。つまり、$14 < 8 + 2\sqrt{15} < 16$。

$14 < (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 < 16$

ゆえに、$\sqrt{14} < \sqrt{5} + \sqrt{3} < \sqrt{16}$、すなわち $\sqrt{14} < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4$ (コ= $\sqrt{14}$, サ=4)。

$3^2=9 < 14 < 16 = 4^2$ より $3 < \sqrt{14} < 4$。

したがって、$3 < \sqrt{14} < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4$。$\sqrt{5}+\sqrt{3}$ の整数部分は 3 (シ=3) である。

**【京子さんのノート】**

$2\sqrt{15} = \sqrt{4 \times 15} = \sqrt{60}$ (カキ=15, シス=60)

$49 < 60 < 64$ より、$7 < \sqrt{60} < 8$ (セ=7, ソ=8)。

よって、$8+7 < 8+2\sqrt{15} < 8+8$、すなわち $15 < 8+2\sqrt{15} < 16$。

ゆえに、$\sqrt{15} < \sqrt{8+2\sqrt{15}} < \sqrt{16}$。つまり、$\sqrt{15} < \sqrt{5}+\sqrt{3} < 4$ (コ=$\sqrt{15}$, サ=4)。

$3 < \sqrt{5}+\sqrt{3} < 4$ より、$\sqrt{5}+\sqrt{3}$の整数部分は 3 (シ=3) である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} + \sqrt{3}$ の整数部分は 3