与えられた放物線を、x軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動した放物線の方程式を求める問題です。対象となる放物線は以下の3つです。 (1) $y = -x^2$ (2) $y = -x^2 + 4x - 5$ (3) $y = 2x^2 + 4x$

1. 問題の内容

与えられた放物線を、x軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動した放物線の方程式を求める問題です。対象となる放物線は以下の3つです。

(1) $y = -x^2$

(2) $y = -x^2 + 4x - 5$

(3) $y = 2x^2 + 4x$

2. 解き方の手順

放物線 $y = f(x)$ をx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y - q = f(x - p)$

となります。

したがって、今回は$p=1$, $q=-2$なので、

$y + 2 = f(x - 1)$

となります。

この式を変形して、$y = f(x-1) - 2$を求めればよいです。

(1)の場合、$f(x) = -x^2$なので、

$f(x-1) = -(x-1)^2 = -(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x - 1$

したがって、求める放物線の方程式は

$y = -x^2 + 2x - 1 - 2 = -x^2 + 2x - 3$

(2)の場合、$f(x) = -x^2 + 4x - 5$なので、

$f(x-1) = -(x-1)^2 + 4(x-1) - 5 = -(x^2 - 2x + 1) + 4x - 4 - 5 = -x^2 + 2x - 1 + 4x - 9 = -x^2 + 6x - 10$

したがって、求める放物線の方程式は

$y = -x^2 + 6x - 10 - 2 = -x^2 + 6x - 12$

(3)の場合、$f(x) = 2x^2 + 4x$なので、

$f(x-1) = 2(x-1)^2 + 4(x-1) = 2(x^2 - 2x + 1) + 4x - 4 = 2x^2 - 4x + 2 + 4x - 4 = 2x^2 - 2$

したがって、求める放物線の方程式は

$y = 2x^2 - 2 - 2 = 2x^2 - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = -x^2 + 6x - 12$

(3) $y = 2x^2 - 4$