複素数 $z = 1 + 2i$ を原点を中心として $\frac{2\pi}{3}$ 回転して得られる複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 1 + 2i$ を原点を中心として $\frac{2\pi}{3}$ 回転して得られる複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を角度 $\theta$ だけ回転させるには、$z$ に $e^{i\theta}$ を掛ければよい。ここで、$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ である。

今回の問題では、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ なので、

$e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$z = 1 + 2i$ を $\frac{2\pi}{3}$ 回転させた複素数 $z'$ は、

$z' = z e^{i\frac{2\pi}{3}} = (1 + 2i)\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} - i - \sqrt{3} = -\frac{1}{2} - \sqrt{3} + i\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)$

$z' = -\frac{1}{2} - \sqrt{3} + i\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} - \sqrt{3} + i\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)$