与えられた2つの問題を解きます。 (1) $\sum_{k=1}^{10} (k^3 + 4k + 7)$ (2) 画像では不鮮明ですが、$\sum_{k=10}^{20} k^2$ と解釈します。

1. 問題の内容

与えられた2つの問題を解きます。

(1) $\sum_{k=1}^{10} (k^3 + 4k + 7)$

(2) 画像では不鮮明ですが、$\sum_{k=10}^{20} k^2$ と解釈します。

2. 解き方の手順

(1)

$\sum_{k=1}^{10} (k^3 + 4k + 7)$ を計算します。

まず、$\sum$の性質を使って、各項を分解します。

$\sum_{k=1}^{10} k^3 + 4\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 7$

次に、以下の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数)

$n=10$を代入して計算します。

$\sum_{k=1}^{10} k^3 = (\frac{10(10+1)}{2})^2 = (\frac{10 \cdot 11}{2})^2 = (55)^2 = 3025$

$4\sum_{k=1}^{10} k = 4\cdot \frac{10(10+1)}{2} = 4\cdot \frac{10 \cdot 11}{2} = 4 \cdot 55 = 220$

$\sum_{k=1}^{10} 7 = 7 \cdot 10 = 70$

したがって、

$\sum_{k=1}^{10} (k^3 + 4k + 7) = 3025 + 220 + 70 = 3315$

(2)

$\sum_{k=10}^{20} k^2$ を計算します。

これは、$\sum_{k=1}^{20} k^2 - \sum_{k=1}^{9} k^2$ で計算できます。

公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を使います。

$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2\cdot 20+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = \frac{17220}{6} = 2870$

$\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(9+1)(2\cdot 9+1)}{6} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = \frac{1710}{6} = 285$

したがって、

$\sum_{k=10}^{20} k^2 = 2870 - 285 = 2585$

3. 最終的な答え

(1) 3315

(2) 2585