2次正方行列 A, B に対して以下の等式が成り立つことを示す問題です。 (1) $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ (2) 正則行列 P に対して $\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(A)$ （ヒント：(1)を利用） (3) $(AB)^T = B^T A^T$

1. 問題の内容

2次正方行列 A, B に対して以下の等式が成り立つことを示す問題です。

(1) $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$

(2) 正則行列 P に対して $\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(A)$ （ヒント：(1)を利用）

(3) $(AB)^T = B^T A^T$

2. 解き方の手順

(1)

A, B をそれぞれ以下の2次正方行列とします。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$

このとき、$AB$ および $BA$ は以下のようになります。

$AB = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} ea + fc & eb + fd \\ ga + hc & gb + hd \end{pmatrix}$

トレース（対角成分の和）を計算すると、

$\text{tr}(AB) = ae + bg + cf + dh$

$\text{tr}(BA) = ea + fc + gb + hd$

$ae = ea, bg = gb, cf = fc, dh = hd$ なので、$\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ が成立します。

(2)

(1) の結果を利用します。

$\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(A P P^{-1})$

$= \text{tr}(A (P P^{-1}))$

$= \text{tr}(A I)$

$= \text{tr}(A)$

(3)

A, B をそれぞれ以下の2次正方行列とします。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$

このとき、$AB$ は以下のようになります。

$AB = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}$

転置行列を計算すると

$(AB)^T = \begin{pmatrix} ae + bg & ce + dg \\ af + bh & cf + dh \end{pmatrix}$

$A^T$ および $B^T$ は以下のようになります。

$A^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}, B^T = \begin{pmatrix} e & g \\ f & h \end{pmatrix}$

$B^T A^T$を計算すると、

$B^T A^T = \begin{pmatrix} e & g \\ f & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea+gb & ec+gd \\ fa+hb & fc+hd \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & ce + dg \\ af + bh & cf + dh \end{pmatrix}$

したがって、 $(AB)^T = B^T A^T$ が成立します。

3. 最終的な答え

(1) $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$

(2) $\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(A)$

(3) $(AB)^T = B^T A^T$