与えられた複素数に関する方程式を解く問題です。 (1) $z^3 = i$ (2) $z^4 = -1$ (3) $z^2 = -1 + \sqrt{3}i$ (4) $z^6 + z^3 + 1 = 0$ (解は極形式のままでよい)

1. 問題の内容

与えられた複素数に関する方程式を解く問題です。

(1) $z^3 = i$

(2) $z^4 = -1$

(3) $z^2 = -1 + \sqrt{3}i$

(4) $z^6 + z^3 + 1 = 0$ (解は極形式のままでよい)

2. 解き方の手順

(1) $z^3 = i$

$i$ を極形式で表すと、$i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$ です。

したがって、$z^3 = \cos(\frac{\pi}{2} + 2k\pi) + i\sin(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)$ ($k$ は整数) となります。

$z = \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3})$ となります。

$k=0, 1, 2$ を代入すると、

$z_0 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$z_1 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$z_2 = \cos(\frac{9\pi}{6}) + i\sin(\frac{9\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$

(2) $z^4 = -1$

$-1$ を極形式で表すと、$-1 = \cos(\pi) + i\sin(\pi)$ です。

したがって、$z^4 = \cos(\pi + 2k\pi) + i\sin(\pi + 2k\pi)$ ($k$ は整数) となります。

$z = \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})$ となります。

$k=0, 1, 2, 3$ を代入すると、

$z_0 = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$

$z_1 = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$

$z_2 = \cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

$z_3 = \cos(\frac{7\pi}{4}) + i\sin(\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

(3) $z^2 = -1 + \sqrt{3}i$

$-1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表すと、$\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$ であるから、$-1 + \sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$ です。

したがって、$z^2 = 2(\cos(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi) + i\sin(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi))$ ($k$ は整数) となります。

$z = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{3} + k\pi) + i\sin(\frac{\pi}{3} + k\pi))$ となります。

$k=0, 1$ を代入すると、

$z_0 = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = \sqrt{2}(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i$

$z_1 = \sqrt{2}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = \sqrt{2}(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}i$

(4) $z^6 + z^3 + 1 = 0$

$w = z^3$ とおくと、$w^2 + w + 1 = 0$ となります。

これを解くと、$w = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ です。

$w_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})$

$w_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})$

$z^3 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})$ より、

$z = \cos(\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})$ ($k=0, 1, 2$)

$z^3 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})$ より、

$z = \cos(\frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})$ ($k=0, 1, 2$)

したがって、

$z = \cos(\frac{2\pi}{9}) + i\sin(\frac{2\pi}{9})$

$z = \cos(\frac{8\pi}{9}) + i\sin(\frac{8\pi}{9})$

$z = \cos(\frac{14\pi}{9}) + i\sin(\frac{14\pi}{9})$

$z = \cos(\frac{4\pi}{9}) + i\sin(\frac{4\pi}{9})$

$z = \cos(\frac{10\pi}{9}) + i\sin(\frac{10\pi}{9})$

$z = \cos(\frac{16\pi}{9}) + i\sin(\frac{16\pi}{9})$

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -i$

(2) $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i, \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

(3) $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i, -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}i$

(4) $z = \cos(\frac{2\pi}{9}) + i\sin(\frac{2\pi}{9}), \cos(\frac{8\pi}{9}) + i\sin(\frac{8\pi}{9}), \cos(\frac{14\pi}{9}) + i\sin(\frac{14\pi}{9}), \cos(\frac{4\pi}{9}) + i\sin(\frac{4\pi}{9}), \cos(\frac{10\pi}{9}) + i\sin(\frac{10\pi}{9}), \cos(\frac{16\pi}{9}) + i\sin(\frac{16\pi}{9})$