与えられた分数 $\frac{2\sqrt{5}}{1 + \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

与えられた分数 $\frac{2\sqrt{5}}{1 + \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母の共役な複素数を分母と分子の両方に掛けます。この場合、分母は $1 + \sqrt{3}$ なので、その共役複素数は $1 - \sqrt{3}$ です。

したがって、分子と分母に $1 - \sqrt{3}$ を掛けて、以下のように計算します。

$\frac{2\sqrt{5}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5}}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

$= \frac{2\sqrt{5} (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}$

分母を展開します。

$(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$

分子を展開します。

$2\sqrt{5} (1 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$

したがって、

$\frac{2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}}{-2} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{15})}{-2} = -(\sqrt{5} - \sqrt{15})$

$= -\sqrt{5} + \sqrt{15}$

$= \sqrt{15} - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{15} - \sqrt{5}$