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問題は、$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ を簡単にすることです。有理化が求められています。

代数学有理化根号式の計算
2025/6/22

1. 問題の内容

問題は、5−35+3\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} を簡単にすることです。有理化が求められています。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である 5−3\sqrt{5}-\sqrt{3} を分子と分母の両方に掛けます。
5−35+3=(5−3)(5−3)(5+3)(5−3)\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}
分子を展開します。
(5−3)(5−3)=(5)2−2(5)(3)+(3)2=5−215+3=8−215(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}
分母を展開します。
(5+3)(5−3)=(5)2−(3)2=5−3=2(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2
したがって、
(5−3)(5−3)(5+3)(5−3)=8−2152=82−2152=4−15\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = \frac{8}{2} - \frac{2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}

3. 最終的な答え

4−154 - \sqrt{15}

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