$x$ の不等式 $(\log_2 \frac{8}{x})(\log_2 \frac{x}{4}) \geq \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{x}$ を解きます。

1. 問題の内容

$x$ の不等式 $(\log_2 \frac{8}{x})(\log_2 \frac{x}{4}) \geq \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{x}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、対数の定義より、$x>0$である必要があります。

与えられた不等式を整理します。

$\log_2 \frac{8}{x} = \log_2 8 - \log_2 x = 3 - \log_2 x$

$\log_2 \frac{x}{4} = \log_2 x - \log_2 4 = \log_2 x - 2$

$\log_{\sqrt{2}} \frac{1}{x} = \frac{\log_2 \frac{1}{x}}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{-\log_2 x}{1/2} = -2\log_2 x$

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、不等式は次のようになります。

$(3-t)(t-2) \geq -2t$

$3t - 6 - t^2 + 2t \geq -2t$

$-t^2 + 5t - 6 \geq -2t$

$-t^2 + 7t - 6 \geq 0$

$t^2 - 7t + 6 \leq 0$

$(t-1)(t-6) \leq 0$

したがって、$1 \leq t \leq 6$ となります。

$t = \log_2 x$ を代入すると、

$1 \leq \log_2 x \leq 6$

各辺を2を底とする指数関数に入れると、

$2^1 \leq x \leq 2^6$

$2 \leq x \leq 64$

3. 最終的な答え

$2 \leq x \leq 64$