方程式 $\log_x 3 - \log_3 x^3 - 2 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

方程式 $\log_x 3 - \log_3 x^3 - 2 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\log_3 x^3$ を簡単にします。対数の性質より、$\log_3 x^3 = 3 \log_3 x$ となります。

したがって、与えられた方程式は、

$\log_x 3 - 3 \log_3 x - 2 = 0$

次に、$\log_x 3$ を底が3の対数に変換します。底の変換公式より、$\log_x 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 x} = \frac{1}{\log_3 x}$ となります。

したがって、方程式は、

$\frac{1}{\log_3 x} - 3 \log_3 x - 2 = 0$

ここで、$y = \log_3 x$ とおくと、方程式は、

$\frac{1}{y} - 3y - 2 = 0$

両辺に $y$ を掛けて、

$1 - 3y^2 - 2y = 0$

整理すると、

$3y^2 + 2y - 1 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(3y - 1)(y + 1) = 0$

したがって、$y = \frac{1}{3}$ または $y = -1$ となります。

$y = \log_3 x$ だったので、$y = \frac{1}{3}$ のとき、$\log_3 x = \frac{1}{3}$ より、 $x = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$ となります。

また、$y = -1$ のとき、$\log_3 x = -1$ より、$x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$ となります。

対数の底は1でない正の数でなければならないので、$x > 0$, $x \ne 1$ を満たす必要があります。

$x = \sqrt[3]{3} > 0$ かつ $x = \sqrt[3]{3} \ne 1$ であり、$x = \frac{1}{3} > 0$ かつ $x = \frac{1}{3} \ne 1$ であるため、どちらも解として適切です。

3. 最終的な答え

$x = \sqrt[3]{3}, \frac{1}{3}$