方程式 $ \log_8 \frac{32}{x} \cdot \log_4 \frac{x^2}{4} = \log_2 \frac{x}{2} $ を満たす $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $\log_8 \frac{32}{x} \cdot \log_4 \frac{x^2}{4} = \log_2 \frac{x}{2}$ を満たす $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を用いてすべての対数を底2に変換します。底の変換公式は $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ です。

$\log_8 \frac{32}{x} = \frac{\log_2 \frac{32}{x}}{\log_2 8} = \frac{\log_2 32 - \log_2 x}{3} = \frac{5 - \log_2 x}{3}$

$\log_4 \frac{x^2}{4} = \frac{\log_2 \frac{x^2}{4}}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x^2 - \log_2 4}{2} = \frac{2\log_2 x - 2}{2} = \log_2 x - 1$

$\log_2 \frac{x}{2} = \log_2 x - \log_2 2 = \log_2 x - 1$

これらの結果を元の方程式に代入すると、

$\frac{5 - \log_2 x}{3} (\log_2 x - 1) = \log_2 x - 1$

両辺を3倍すると

$(5 - \log_2 x)(\log_2 x - 1) = 3(\log_2 x - 1)$

$\log_2 x - 1$で括ると

$(5 - \log_2 x)(\log_2 x - 1) - 3(\log_2 x - 1) = 0$

$(\log_2 x - 1) (5 - \log_2 x - 3) = 0$

$(\log_2 x - 1)(2 - \log_2 x) = 0$

したがって、$\log_2 x = 1$ または $\log_2 x = 2$

$\log_2 x = 1$ のとき $x = 2^1 = 2$

$\log_2 x = 2$ のとき $x = 2^2 = 4$

次に、$x=2$と$x=4$が元の式を満たすか確認します。

$x=2$のとき

$\log_8 \frac{32}{2} \cdot \log_4 \frac{2^2}{4} = \log_8 16 \cdot \log_4 1 = \frac{4}{3} \cdot 0 = 0$

$\log_2 \frac{2}{2} = \log_2 1 = 0$

したがって、$x=2$は解です。

$x=4$のとき

$\log_8 \frac{32}{4} \cdot \log_4 \frac{4^2}{4} = \log_8 8 \cdot \log_4 4 = 1 \cdot 1 = 1$

$\log_2 \frac{4}{2} = \log_2 2 = 1$

したがって、$x=4$は解です。

3. 最終的な答え

$x = 2, 4$