不等式 $(\log_2 x)^2 - \log_2 x^3 + 2 < 0$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $(\log_2 x)^2 - \log_2 x^3 + 2 < 0$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、真数条件から $x > 0$ である。

次に、$\log_2 x^3$ を変形する。対数の性質より、$\log_2 x^3 = 3 \log_2 x$ となる。

よって、与えられた不等式は

$(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x + 2 < 0$

となる。

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、不等式は

$t^2 - 3t + 2 < 0$

と書き換えられる。

この2次不等式を解く。左辺を因数分解すると、

$(t-1)(t-2) < 0$

となるので、$1 < t < 2$ である。

$t = \log_2 x$ を代入して、

$1 < \log_2 x < 2$

となる。

底が2である指数関数は単調増加なので、各辺を2の指数とすると、

$2^1 < 2^{\log_2 x} < 2^2$

$2 < x < 4$

となる。

これは、$x > 0$ を満たす。

3. 最終的な答え

$2 < x < 4$