実数 $a$、自然数 $m, n$ に対して、次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。 (1) $a^2 = 4 \implies a = 2$ (2) $m$ は9の倍数 $\implies$ $m$ は3の倍数 (3) $mn$ は奇数 $\implies$ $m, n$ はともに奇数

1. 問題の内容

実数 $a$、自然数 $m, n$ に対して、次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。

(1) $a^2 = 4 \implies a = 2$

(2) $m$ は9の倍数 $\implies$ $m$ は3の倍数

(3) $mn$ は奇数 $\implies$ $m, n$ はともに奇数

2. 解き方の手順

(1) $a^2 = 4 \implies a = 2$

* 元の命題: $a^2 = 4 \implies a = 2$. $a = -2$ のとき $a^2 = 4$ だが $a=2$ ではないので偽。

* 逆: $a = 2 \implies a^2 = 4$. これは真。

* 対偶: $a \neq 2 \implies a^2 \neq 4$. $a = -2$ のとき $a \neq 2$ だが $a^2 = 4$ なので偽。

* 裏: $a^2 \neq 4 \implies a \neq 2$. $a = -2$ のとき $a^2 = 4$ なので偽。

(2) $m$ は9の倍数 $\implies$ $m$ は3の倍数

* 元の命題: $m$ は9の倍数 $\implies$ $m$ は3の倍数. $m$ が9の倍数ならば、ある自然数 $k$ を用いて $m = 9k$ と表せる。$m = 9k = 3(3k)$ より、$m$ は3の倍数である。真。

* 逆: $m$ は3の倍数 $\implies$ $m$ は9の倍数. $m = 3$ のとき $m$ は3の倍数だが9の倍数ではないので偽。

* 対偶: $m$ は3の倍数でない $\implies$ $m$ は9の倍数でない. 元の命題が真なので対偶も真。

* 裏: $m$ は9の倍数でない $\implies$ $m$ は3の倍数でない. 逆が偽なので裏も偽。

(3) $mn$ は奇数 $\implies$ $m, n$ はともに奇数

* 元の命題: $mn$ は奇数 $\implies$ $m, n$ はともに奇数. $mn$ が奇数ならば、$m, n$ はともに奇数である。真。

* 逆: $m, n$ はともに奇数 $\implies$ $mn$ は奇数. これは真。

* 対偶: $m$ または $n$ が偶数 $\implies$ $mn$ は偶数. 元の命題が真なので対偶も真。

* 裏: $mn$ は偶数 $\implies$ $m$ または $n$ が偶数. 逆が真なので裏も真。

3. 最終的な答え

(1)

* 元の命題: 偽

* 逆: 真

* 対偶: 偽

* 裏: 偽

(2)

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 対偶: 真

* 裏: 偽

(3)

* 元の命題: 真

* 逆: 真

* 対偶: 真

* 裏: 真