パスカルの三角形を利用して、次の式を展開する。 (1) $(a+b)^4$ (2) $(a+b)^7$ (3) $(x+1)^5$ (4) $(x-2)^4$ (5) $(2x+1)^6$

1. 問題の内容

パスカルの三角形を利用して、次の式を展開する。

(1) $(a+b)^4$

(2) $(a+b)^7$

(3) $(x+1)^5$

(4) $(x-2)^4$

(5) $(2x+1)^6$

2. 解き方の手順

パスカルの三角形とは、二項展開における係数を三角形の形に並べたものです。各段の両端は1であり、それ以外の数は左上と右上の数の和となります。

(1) $(a+b)^4$ の展開

4乗のパスカルの三角形の係数は 1, 4, 6, 4, 1 です。したがって、

$(a+b)^4 = 1a^4b^0 + 4a^3b^1 + 6a^2b^2 + 4a^1b^3 + 1a^0b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

(2) $(a+b)^7$ の展開

7乗のパスカルの三角形の係数は 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 です。したがって、

$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

(3) $(x+1)^5$ の展開

5乗のパスカルの三角形の係数は 1, 5, 10, 10, 5, 1 です。したがって、

$(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$

(4) $(x-2)^4$ の展開

$(x-2)^4 = (x + (-2))^4$ と考えます。4乗のパスカルの三角形の係数は 1, 4, 6, 4, 1 です。したがって、

$(x-2)^4 = x^4 + 4x^3(-2) + 6x^2(-2)^2 + 4x(-2)^3 + (-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$

(5) $(2x+1)^6$ の展開

6乗のパスカルの三角形の係数は 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 です。したがって、

$(2x+1)^6 = (2x)^6 + 6(2x)^5 + 15(2x)^4 + 20(2x)^3 + 15(2x)^2 + 6(2x) + 1 = 64x^6 + 6(32x^5) + 15(16x^4) + 20(8x^3) + 15(4x^2) + 12x + 1 = 64x^6 + 192x^5 + 240x^4 + 160x^3 + 60x^2 + 12x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

(2) $(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

(3) $(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$

(4) $(x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$

(5) $(2x+1)^6 = 64x^6 + 192x^5 + 240x^4 + 160x^3 + 60x^2 + 12x + 1$