4つの数字0, 1, 2, 3を重複を許して使うとき、以下の問いに答える。 (1) 5桁の整数は何個できるか。 (2) 5桁以下の整数は何個できるか。 (3) 5桁の偶数は何個できるか。

## 問題59

1. 問題の内容

4つの数字0, 1, 2, 3を重複を許して使うとき、以下の問いに答える。

(1) 5桁の整数は何個できるか。

(2) 5桁以下の整数は何個できるか。

(3) 5桁の偶数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数の個数：

5桁の整数なので、一番左の桁は0以外である必要がある。

* 1桁目 (一万の位): 1, 2, 3 のいずれかなので、3通りの選び方がある。

* 2桁目以降 (千の位、百の位、十の位、一の位): 0, 1, 2, 3 のいずれかなので、それぞれ4通りの選び方がある。

したがって、5桁の整数は $3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 3 \times 4^4$ 個ある。

(2) 5桁以下の整数の個数：

1桁, 2桁, 3桁, 4桁, 5桁の整数の個数をそれぞれ計算し、それらを足し合わせる。

* 1桁の整数: 0, 1, 2, 3 のうち0以外なので、3個。

* 2桁の整数: 1桁目は0以外なので3通り、2桁目は4通り。$3 \times 4 = 12$ 個。

* 3桁の整数: 1桁目は0以外なので3通り、2,3桁目は4通り。$3 \times 4 \times 4 = 48$ 個。

* 4桁の整数: 1桁目は0以外なので3通り、2,3,4桁目は4通り。$3 \times 4 \times 4 \times 4 = 192$ 個。

* 5桁の整数: (1)で求めたように、$3 \times 4^4 = 768$ 個。

したがって、5桁以下の整数は $3 + 12 + 48 + 192 + 768$ 個ある。

(3) 5桁の偶数の個数：

5桁の偶数であるためには、一番右の桁が0または2である必要がある。

* 1桁目 (一万の位): 1, 2, 3 のいずれかなので、3通りの選び方がある。

* 2桁目から4桁目 (千の位、百の位、十の位): 0, 1, 2, 3 のいずれかなので、それぞれ4通りの選び方がある。

* 5桁目 (一の位): 0または2なので、2通りの選び方がある。

したがって、5桁の偶数は $3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 2 = 3 \times 4^3 \times 2$ 個ある。

3. 最終的な答え

(1) 5桁の整数: 768個

(2) 5桁以下の整数: 1023個

(3) 5桁の偶数: 384個