0000から9999までの番号（4桁の数字）のうち、同じ数字を2個ずつ含む番号は何個あるか。例えば、0101や0033のような番号を数える。

## 問題10 (1)

1. 問題の内容

0000から9999までの番号（4桁の数字）のうち、同じ数字を2個ずつ含む番号は何個あるか。例えば、0101や0033のような番号を数える。

2. 解き方の手順

4桁の数字で、同じ数字が2個ずつ含まれているものを数える。

まず、使う2つの数字を選ぶ。0から9までの10個の数字から2つを選ぶので、${}_{10}C_2$ 通り。ただし、0000は除外する必要がある。

選んだ2つの数字をA, Bとする。AABBという並び方を考える。AABBの並び方は、4! / (2! * 2!) = 6通り。

したがって、2つの数字を選び、その数字を2つずつ並べる方法は、${}_{10}C_2 \times 6$通り。

ただし、2つの数字の中に0が含まれる場合、先頭に0が来ないようにする必要がある。

・0を含まない場合: 1から9の数字から2つ選ぶ。 ${}_9C_2 = 36$通り。並び方は6通りなので $36 \times 6 = 216$通り。

・0を含む場合: もう一つの数字は1から9の中から1つ選ぶ。 ${}_9C_1 = 9$通り。並び方はAA00の形。

AA00, A0A0, A00A, 0AA0, 0A0A, 00AAの6通りあるが、先頭に0が来ないように制限する。先頭に0が来るものは0AA0, 0A0A, 00AAの3通り。なので、それ以外の3通り。したがって、$9 \times 3 = 27$通り。

・同じ数字4つの場合: 0000, 1111, 2222,...9999 の10通り。このうち、問題文より、0000は含まれない。1111, 2222, ..., 9999 は条件を満たさない。

・同じ数字が2個ずつ含まれる数字の個数は、216 + 27 = 243個。

3. 最終的な答え

243個

## 問題10 (2)

1. 問題の内容

0000から9999までの番号（4桁の数字）のうち、異なる数字が左から小さい順に並んでいる番号は何個あるか。例えば、1248のような番号を数える。

2. 解き方の手順

4桁の数字が全て異なり、かつ左から小さい順に並んでいるものを数える。

0から9までの10個の数字から4個を選び、小さい順に並べる。

4つの数字を選べば、小さい順に並べる方法は一意に決まる。

したがって、${}_{10}C_4$を計算する。

${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

3. 最終的な答え

210個