300円のケーキAと340円のケーキBを合わせて15個購入し、それらを1個200円の箱に入れて、ケーキ代と箱代の合計金額を5000円以下にしたい。ケーキBをできるだけ多く買うとき、ケーキAとケーキBをそれぞれ何個買えるか求める。

1. 問題の内容

300円のケーキAと340円のケーキBを合わせて15個購入し、それらを1個200円の箱に入れて、ケーキ代と箱代の合計金額を5000円以下にしたい。ケーキBをできるだけ多く買うとき、ケーキAとケーキBをそれぞれ何個買えるか求める。

2. 解き方の手順

ケーキAの個数を $x$ 個、ケーキBの個数を $y$ 個とすると、以下の式が成り立つ。

まず、ケーキの合計個数は15個なので、

$x + y = 15$

次に、ケーキ代と箱代の合計金額は5000円以下なので、

$300x + 340y + 200(x+y) \le 5000$

$300x + 340y + 200(15) \le 5000$

$300x + 340y + 3000 \le 5000$

$300x + 340y \le 2000$

$15x + 17y \le 100$

$y = 15 - x$ を $15x + 17y \le 100$ に代入すると、

$15x + 17(15 - x) \le 100$

$15x + 255 - 17x \le 100$

$-2x \le -155$

$x \ge \frac{155}{2} = 77.5$

ただし、$x$ は整数なので、$x \ge 78$ となる。

これは $x+y=15$ に矛盾するため、不等式を等式として考える。

$15x+17y=100$

$y=15-x$より

$15x+17(15-x)=100$

$15x+255-17x=100$

$-2x=-155$

$x=77.5$

したがって、$15x + 17y \le 100$を満たす最大の$y$を見つけます。

$y=15-x$ より、$17y=17(15-x)$

$15x+17(15-x) \le 100$

$15x + 255-17x \le 100$

$-2x+255 \le 100$

$-2x \le -155$

$2x \ge 155$

$x \ge 77.5$

$x$は整数なので $x=8$のとき、$y=15-8=7$

$15(8)+17(7)=120+119=239<100$を満たさない。

$x=0$から順番に試していく。

$x=0$, $y=15$. $15(0)+17(15)=255<100$を満たさない。

$x=1, y=14$. $15(1)+17(14)=15+238=253$

$x=2, y=13$. $15(2)+17(13)=30+221=251$

$x=3, y=12$. $15(3)+17(12)=45+204=249$

$x=4, y=11$. $15(4)+17(11)=60+187=247$

$x=5, y=10$. $15(5)+17(10)=75+170=245$

$x=6, y=9$. $15(6)+17(9)=90+153=243$

$x=7, y=8$. $15(7)+17(8)=105+136=241$

$x+y=15$より

$300x+340y+200(15) \le 5000$

$300x+340y+3000 \le 5000$

$300x+340y \le 2000$

$30x+34y \le 200$

$15x+17y \le 100$

$y = 15-x$

$15x+17(15-x) \le 100$

$15x+255-17x \le 100$

$-2x \le -155$

$x \ge 77.5$

これはありえない。

$y$を最大にしたいので、$x$を小さくする。

$x=0$のとき、$17y \le 100$、$y \le 5.88$。$y=5$, $x+y=5$, $x=10$になってしまう。

ここで、$15x + 17y \le 100$の不等式を考える。

$x+y = 15$の関係がある。

$15x+17y \le 100$

$15x+17(15-x) \le 100$

$-2x \le -155$

$x \ge 77.5$

なので、この条件を満たす組み合わせは存在しない。

問題文より、合計金額を5000円"以下"にしたいので、5000円を超えない範囲でケーキBをできるだけ多く買えば良い。

$x=0$の場合、$y=15$. 金額は$340*15 + 200*15 = 5100 + 3000 = 8100 > 5000$

$x=15$の場合、$y=0$. 金額は$300*15 + 200*15 = 4500+3000 = 7500 > 5000$

$x+y=15$

$300x+340y+3000\le5000$

$300x+340y\le2000$

Aの個数を一つ減らすと300円減り、Bの個数を一つ増やすと340円増えるので、40円増える。

まず、$y=0, x=15$の場合、金額は$4500+3000=7500$

$y=15, x=0$の場合、金額は$5100+3000=8100$

差は$600$円。一個あたり40円の差があるので、15個で600円。

$15x+17y \le 100$

満たすような整数は存在しない。

したがって、問題文に誤りがある可能性がある。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、条件を満たすケーキAとBの個数は存在しない。