$a \neq 0$ とする。2つの方程式 $ax^2 - 3x + a = 0$ と $x^2 - ax + a^2 - 3a = 0$ について、以下の条件が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題。 (1) 2つの方程式がともに実数解をもつ。 (2) 2つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつ。 (3) 2つの方程式の一方だけが実数解をもつ。

1. 問題の内容

$a \neq 0$ とする。2つの方程式 $ax^2 - 3x + a = 0$ と $x^2 - ax + a^2 - 3a = 0$ について、以下の条件が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題。

(1) 2つの方程式がともに実数解をもつ。

(2) 2つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつ。

(3) 2つの方程式の一方だけが実数解をもつ。

2. 解き方の手順

まず、2つの方程式が実数解を持つための条件を求める。

1つ目の式 $ax^2 - 3x + a = 0$ について、判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-3)^2 - 4(a)(a) = 9 - 4a^2$

実数解を持つ条件は $D_1 \geq 0$ なので、

$9 - 4a^2 \geq 0$

$4a^2 \leq 9$

$a^2 \leq \frac{9}{4}$

$-\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{3}{2}$

ただし、$a \neq 0$ より、$-\frac{3}{2} \leq a < 0$ または $0 < a \leq \frac{3}{2}$

2つ目の式 $x^2 - ax + a^2 - 3a = 0$ について、判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-a)^2 - 4(1)(a^2 - 3a) = a^2 - 4a^2 + 12a = -3a^2 + 12a$

実数解を持つ条件は $D_2 \geq 0$ なので、

$-3a^2 + 12a \geq 0$

$-3a(a - 4) \geq 0$

$a(a - 4) \leq 0$

$0 \leq a \leq 4$

(1) 2つの方程式がともに実数解をもつとき、

$-\frac{3}{2} \leq a < 0$ または $0 < a \leq \frac{3}{2}$ かつ $0 \leq a \leq 4$

よって、$0 < a \leq \frac{3}{2}$

(2) 2つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつとき、

($-\frac{3}{2} \leq a < 0$ または $0 < a \leq \frac{3}{2}$) または ($0 \leq a \leq 4$)

$-\frac{3}{2} \leq a \leq 4$

(3) 2つの方程式の一方だけが実数解をもつとき、

(1つ目の式は実数解を持ち、2つ目の式は実数解を持たない) または (1つ目の式は実数解を持たず、2つ目の式は実数解を持つ)

(a) 1つ目の式は実数解を持ち、2つ目の式は実数解を持たないとき:

$-\frac{3}{2} \leq a < 0$ または $0 < a \leq \frac{3}{2}$ かつ $(a<0$ または $4<a)$

$-\frac{3}{2} \leq a < 0$ または $4 < a \leq \frac{3}{2}$を満たす$a$はないため、$4 < a \leq \frac{3}{2}$は不適。したがって$-\frac{3}{2} \leq a < 0$

(b) 1つ目の式は実数解を持たず、2つ目の式は実数解を持つとき:

($a < -\frac{3}{2}$ または $a > \frac{3}{2}$) かつ $0 \leq a \leq 4$

$\frac{3}{2} < a \leq 4$

(a)と(b)を合わせて、$-\frac{3}{2} \leq a < 0$ または $\frac{3}{2} < a \leq 4$

3. 最終的な答え

(1) $0 < a \leq \frac{3}{2}$

(2) $-\frac{3}{2} \leq a \leq 4$

(3) $-\frac{3}{2} \leq a < 0$ または $\frac{3}{2} < a \leq 4$