以下の3つの問題で、多項式 $A$ を求める。 (1) $A$ を $6x+3$ で割ると、商が $4x-5$、余りが $6$ である。 (2) $A$ を $3x^2+2x-5$ で割ると、商が $8x+3$、余りが $2x+1$ である。 (3) $A$ を $3x^2-x-4$ で割ると、商が $2x^2+3x-1$、余りが $2x-1$ である。

1. 問題の内容

以下の3つの問題で、多項式 $A$ を求める。

(1) $A$ を $6x+3$ で割ると、商が $4x-5$、余りが $6$ である。

(2) $A$ を $3x^2+2x-5$ で割ると、商が $8x+3$、余りが $2x+1$ である。

(3) $A$ を $3x^2-x-4$ で割ると、商が $2x^2+3x-1$、余りが $2x-1$ である。

2. 解き方の手順

多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ったときの商を $Q$、余りを $R$ とすると、$A = BQ + R$ が成り立つ。この関係式を利用して、各問題の $A$ を求める。

(1) $A = (6x+3)(4x-5) + 6$ を計算する。

$A = 24x^2 -30x + 12x - 15 + 6$

$A = 24x^2 - 18x - 9$

(2) $A = (3x^2+2x-5)(8x+3) + 2x+1$ を計算する。

$A = 24x^3 + 9x^2 + 16x^2 + 6x - 40x - 15 + 2x + 1$

$A = 24x^3 + 25x^2 - 32x - 14$

(3) $A = (3x^2-x-4)(2x^2+3x-1) + 2x-1$ を計算する。

$A = 6x^4 + 9x^3 - 3x^2 - 2x^3 - 3x^2 + x - 8x^2 - 12x + 4 + 2x - 1$

$A = 6x^4 + 7x^3 - 14x^2 - 9x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $A = 24x^2 - 18x - 9$

(2) $A = 24x^3 + 25x^2 - 32x - 14$

(3) $A = 6x^4 + 7x^3 - 14x^2 - 9x + 3$