画像に写っている数学の問題を解きます。問題は大きく分けて2つのセクションに分かれています。セクション5は根号を含む加法・減法の計算、セクション6は根号を含む式の展開の計算です。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。問題は大きく分けて2つのセクションに分かれています。セクション5は根号を含む加法・減法の計算、セクション6は根号を含む式の展開の計算です。

2. 解き方の手順

セクション5：

(1) $8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$を共通因数としてまとめる:

$(8+4)\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

(2) $8\sqrt{3} - 5\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$を共通因数としてまとめる:

$(8-5)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

(3) $4\sqrt{5} + 3\sqrt{7} - 2\sqrt{5} + \sqrt{7}$

$\sqrt{5}$と$\sqrt{7}$をそれぞれまとめる:

$(4-2)\sqrt{5} + (3+1)\sqrt{7} = 2\sqrt{5} + 4\sqrt{7}$

(4) $4\sqrt{3} - 3\sqrt{6} - \sqrt{3} + 2\sqrt{6}$

$\sqrt{3}$と$\sqrt{6}$をそれぞれまとめる:

$(4-1)\sqrt{3} + (-3+2)\sqrt{6} = 3\sqrt{3} - \sqrt{6}$

(5) $\sqrt{32} + \sqrt{8}$

それぞれを簡単にする:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

$4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

(6) $\sqrt{45} - \sqrt{80}$

それぞれを簡単にする:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$

$3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = -\sqrt{5}$

(7) $-\sqrt{2} + 5\sqrt{8} + \sqrt{50}$

それぞれを簡単にする:

$5\sqrt{8} = 5\sqrt{4 \times 2} = 5 \times 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

$-\sqrt{2} + 10\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$

(8) $\sqrt{12} - \sqrt{27} + \frac{1}{\sqrt{3}}$

それぞれを簡単にする:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

セクション6：

(1) $\sqrt{5}(\sqrt{10}-1)$

分配法則を用いる:

$\sqrt{5} \times \sqrt{10} - \sqrt{5} = \sqrt{50} - \sqrt{5} = 5\sqrt{2} - \sqrt{5}$

(2) $(\sqrt{6} + 2\sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})$

展開する:

$\sqrt{6} \times \sqrt{6} - \sqrt{6} \times \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \times \sqrt{6} - 2\sqrt{3} \times \sqrt{3}$

$= 6 - \sqrt{18} + 2\sqrt{18} - 6 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2$

展開する:

$(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}$

(4) $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$

展開する（和と差の積）:

$(\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

(5) $(3 + \sqrt{2})^2$

展開する:

$3^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

セクション5：

(1) $12\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{3}$

(3) $2\sqrt{5} + 4\sqrt{7}$

(4) $3\sqrt{3} - \sqrt{6}$

(5) $6\sqrt{2}$

(6) $-\sqrt{5}$

(7) $14\sqrt{2}$

(8) $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

セクション6：

(1) $5\sqrt{2} - \sqrt{5}$

(2) $3\sqrt{2}$

(3) $10 - 2\sqrt{21}$

(4) $1$

(5) $11 + 6\sqrt{2}$