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与えられた3元連立一次方程式の解 $x, y, z$ をクラメルの公式を用いて求めます。連立一次方程式は以下の通りです。 $\begin{cases} 2(a+1)x + 3y = 3a \\ -3x + (a+1)y = -a-2 \\ x - ay - 2z = a+1 \end{cases}$

代数学連立一次方程式行列式クラメルの公式
2025/6/22

1. 問題の内容

与えられた3元連立一次方程式の解 x,y,zx, y, z をクラメルの公式を用いて求めます。連立一次方程式は以下の通りです。
$\begin{cases}
2(a+1)x + 3y = 3a \\
-3x + (a+1)y = -a-2 \\
x - ay - 2z = a+1
\end{cases}$

2. 解き方の手順

クラメルの公式を用いるために、まず係数行列とその行列式を計算します。係数行列をAA、変数ベクトルをX=[xyz]X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}、定数ベクトルをBBとすると、AX=BAX = B と表せます。
$\begin{cases}
2(a+1)x + 3y + 0z = 3a \\
-3x + (a+1)y + 0z= -a-2 \\
x - ay - 2z = a+1
\end{cases}$
係数行列 AA は、
$A = \begin{bmatrix}
2(a+1) & 3 & 0 \\
-3 & a+1 & 0 \\
1 & -a & -2
\end{bmatrix}$
行列式 ∣A∣|A| は、
∣A∣=−2(2(a+1)(a+1)−3(−3))=−2(2(a2+2a+1)+9)=−2(2a2+4a+2+9)=−2(2a2+4a+11)=−4a2−8a−22|A| = -2(2(a+1)(a+1) - 3(-3)) = -2(2(a^2 + 2a + 1) + 9) = -2(2a^2 + 4a + 2 + 9) = -2(2a^2 + 4a + 11) = -4a^2 - 8a - 22
次に、x,y,zx, y, z を求めるために、AA の各列を BB で置き換えた行列の行列式を計算します。
B=[3a−a−2a+1]B = \begin{bmatrix} 3a \\ -a-2 \\ a+1 \end{bmatrix}
∣Ax∣=∣3a30−a−2a+10a+1−a−2∣=−2(3a(a+1)−3(−a−2))=−2(3a2+3a+3a+6)=−2(3a2+6a+6)=−6a2−12a−12|A_x| = \begin{vmatrix} 3a & 3 & 0 \\ -a-2 & a+1 & 0 \\ a+1 & -a & -2 \end{vmatrix} = -2(3a(a+1) - 3(-a-2)) = -2(3a^2 + 3a + 3a + 6) = -2(3a^2 + 6a + 6) = -6a^2 - 12a - 12
∣Ay∣=∣2(a+1)3a0−3−a−201a+1−2∣=−2(2(a+1)(−a−2)−3a(−3))=−2(2(−a2−3a−2)+9a)=−2(−2a2−6a−4+9a)=−2(−2a2+3a−4)=4a2−6a+8|A_y| = \begin{vmatrix} 2(a+1) & 3a & 0 \\ -3 & -a-2 & 0 \\ 1 & a+1 & -2 \end{vmatrix} = -2(2(a+1)(-a-2) - 3a(-3)) = -2(2(-a^2 - 3a - 2) + 9a) = -2(-2a^2 - 6a - 4 + 9a) = -2(-2a^2 + 3a - 4) = 4a^2 - 6a + 8
∣Az∣=∣2(a+1)33a−3a+1−a−21−aa+1∣=2(a+1)((a+1)2−(−a)(−a−2))−3(−3(a+1)−(−(a+2)))+3a(3a−(a+1))=2(a+1)(a2+2a+1−a2−2a)−3(−3a−3+a+2)+3a(3a−a−1)=2(a+1)−3(−2a−1)+3a(2a−1)=2a+2+6a+3+6a2−3a=6a2+5a+5|A_z| = \begin{vmatrix} 2(a+1) & 3 & 3a \\ -3 & a+1 & -a-2 \\ 1 & -a & a+1 \end{vmatrix} = 2(a+1)((a+1)^2 - (-a)(-a-2)) - 3(-3(a+1) - (-(a+2))) + 3a(3a - (a+1)) = 2(a+1)(a^2+2a+1-a^2-2a) - 3(-3a-3+a+2) + 3a(3a - a - 1) = 2(a+1) -3(-2a-1) + 3a(2a - 1) = 2a + 2 + 6a + 3 + 6a^2 - 3a = 6a^2 + 5a + 5
クラメルの公式より、
x=∣Ax∣∣A∣=−6a2−12a−12−4a2−8a−22=3a2+6a+62a2+4a+11x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-6a^2 - 12a - 12}{-4a^2 - 8a - 22} = \frac{3a^2 + 6a + 6}{2a^2 + 4a + 11}
y=∣Ay∣∣A∣=4a2−6a+8−4a2−8a−22=−2a2+3a−42a2+4a+11y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{4a^2 - 6a + 8}{-4a^2 - 8a - 22} = \frac{-2a^2 + 3a - 4}{2a^2 + 4a + 11}
z=∣Az∣∣A∣=6a2+5a+5−4a2−8a−22=−6a2−5a−54a2+8a+22z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{6a^2 + 5a + 5}{-4a^2 - 8a - 22} = \frac{-6a^2 - 5a - 5}{4a^2 + 8a + 22}

3. 最終的な答え

x=3a2+6a+62a2+4a+11x = \frac{3a^2 + 6a + 6}{2a^2 + 4a + 11}
y=−2a2+3a−42a2+4a+11y = \frac{-2a^2 + 3a - 4}{2a^2 + 4a + 11}
z=−6a2−5a−54a2+8a+22z = \frac{-6a^2 - 5a - 5}{4a^2 + 8a + 22}

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