集合 $A = \{2, 5, a^2\}$ と集合 $B = \{4, a-1, a+b, 9\}$ があります。 $A \cap B = \{5, 9\}$ であるとき、以下の問いに答えます。 (1) 定数 $a, b$ の値を求めます。 (2) $A \cup B$ を求めます。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

集合 $A = \{2, 5, a^2\}$ と集合 $B = \{4, a-1, a+b, 9\}$ があります。

$A \cap B = \{5, 9\}$ であるとき、以下の問いに答えます。

(1) 定数 $a, b$ の値を求めます。

(2) $A \cup B$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$A \cap B = \{5, 9\}$ より、$5 \in A$ かつ $5 \in B$, $9 \in A$ かつ $9 \in B$ である必要があります。

$A$ の要素に着目すると、$a^2 = 9$ であり、$a$ は整数なので、$a = 3$ または $a = -3$ です。

$a = 3$ のとき、$B = \{4, 2, 3+b, 9\}$ となります。$A \cap B = \{5, 9\}$ より、$2$ または $3+b$ が $5$ である必要があります。

$2 = 5$ はありえないので、$3+b=5$となり、$b = 2$。

このとき、$B = \{4, 2, 5, 9\}$となります。しかし、$A = \{2, 5, 9\}$ なので、$A \cap B = \{2, 5, 9\}$ となり、$A \cap B = \{5, 9\}$ に矛盾します。したがって、$a = 3$ は不適です。

$a = -3$ のとき、$B = \{4, -4, -3+b, 9\}$ となります。$A \cap B = \{5, 9\}$ より、$-4$ または $-3+b$ が $5$ である必要があります。

$-4 = 5$ はありえないので、$-3+b=5$となり、$b = 8$。

このとき、$B = \{4, -4, 5, 9\}$となります。また、$A = \{2, 5, 9\}$ となり、$A \cap B = \{5, 9\}$ を満たします。

したがって、$a = -3$, $b = 8$ です。

(2)

(1) より、$A = \{2, 5, 9\}$、$B = \{4, -4, 5, 9\}$です。

$A \cup B$ は、$A$ と $B$ の要素をすべて含む集合なので、$A \cup B = \{2, 4, -4, 5, 9\}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = -3$, $b = 8$

(2) $A \cup B = \{-4, 2, 4, 5, 9\}$