問題は2つあります。 (1) 6人がA, Bの2つの部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。 (2) 6人が2つの組に分かれる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 6人がA, Bの2つの部屋に入る方法は何通りあるか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。

(2) 6人が2つの組に分かれる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6人がA, Bの2つの部屋に入る方法

各人はAかBのどちらかの部屋に入るので、各人の選択肢は2通りです。

したがって、6人全員の部屋への入り方は $2^6$ 通りです。

ただし、全員が同じ部屋に入る場合（全員A、全員B）も許されるので、これで問題ありません。

$2^6 = 64$

(2) 6人が2つの組に分かれる方法

まず、6人から何人かを選んで1つの組を作ります。残りの人はもう1つの組に入ります。

1つの組に入る人数は1人から5人まで考えられます。

（0人の場合と6人の場合は、全員が片方の組に入ってしまうので、2つの組に分かれるとは言えません。）

1人を選ぶ方法は ${6 \choose 1} = 6$ 通り

2人を選ぶ方法は ${6 \choose 2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り

3人を選ぶ方法は ${6 \choose 3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り

4人を選ぶ方法は ${6 \choose 4} = {6 \choose 2} = 15$ 通り

5人を選ぶ方法は ${6 \choose 5} = {6 \choose 1} = 6$ 通り

これらの合計は $6 + 15 + 20 + 15 + 6 = 62$ 通りです。

ただし、例えば1人をAの組、残りの5人をBの組とする場合と、1人をBの組、残りの5人をAの組とする場合が重複して数えられています。

例えば、{1,2,3}という組と{4,5,6}という組に分ける方法は、組の呼び方を変えるだけで同じ分け方です。

そのため、上記の合計を2で割る必要があります。

$62 / 2 = 31$

したがって、6人が2つの組に分かれる方法は31通りです。

3. 最終的な答え

(1) 64通り

(2) 31通り