集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と集合 $B = \{a, b, c\}$ が与えられています。関係 $R_1$ から $R_7$ について、それぞれが反射律、対称律、推移律を満たすかどうかを判定し、表を完成させます。 関係 $R_1$ から $R_7$ は以下の通りです。 $R_1 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3), (2,3)\}$ $R_2 = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ $R_3 = \{(2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ $R_4 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1)\}$ $R_5 = \{(x, y) \in A \times A \mid x \mod 3 = y \mod 3\}$ $R_6 = \{(x, y) \in P(B) \times P(B) \mid |x| = |y|\}$ ここで $P(B)$ は $B$ の冪集合を表し、 $|x|$ は集合 $x$ の要素数を表します。 $R_7 = \{(x, y) \in A \times A \mid x \leq y\}$

1. 問題の内容

集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と集合 $B = \{a, b, c\}$ が与えられています。関係 $R_1$ から $R_7$ について、それぞれが反射律、対称律、推移律を満たすかどうかを判定し、表を完成させます。

関係 $R_1$ から $R_7$ は以下の通りです。

$R_1 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3), (2,3)\}$

$R_2 = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$

$R_3 = \{(2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$

$R_4 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1)\}$

$R_5 = \{(x, y) \in A \times A \mid x \mod 3 = y \mod 3\}$

$R_6 = \{(x, y) \in P(B) \times P(B) \mid |x| = |y|\}$ ここで $P(B)$ は $B$ の冪集合を表し、 $|x|$ は集合 $x$ の要素数を表します。

$R_7 = \{(x, y) \in A \times A \mid x \leq y\}$

2. 解き方の手順

それぞれの関係について、反射律、対称律、推移律を満たすかどうかを調べます。

* **反射律:** 任意の $a \in A$ に対して $(a, a) \in R$ であること。

* **対称律:** 任意の $(a, b) \in R$ に対して $(b, a) \in R$ であること。

* **推移律:** 任意の $(a, b) \in R$ かつ $(b, c) \in R$ に対して $(a, c) \in R$ であること。

各関係について、上記の条件を満たすかどうか確認し、表に○か×を記入します。

3. 最終的な答え

| 関係 | 反射律 | 対称律 | 推移律 |

|---|---|---|---|

| R1 | ○ | × | × |

| R2 | ○ | ○ | ○ |

| R3 | × | ○ | × |

| R4 | ○ | ○ | × |

| R5 | ○ | ○ | ○ |

| R6 | ○ | ○ | ○ |

| R7 | ○ | × | ○ |

以下にそれぞれの関係についての詳細な分析を示します。

* **R1:** 反射律は満たす((1,1), (2,2), (3,3)が含まれる)。対称律は満たさない((1,2)が含まれるが(2,1)は含まれない)。推移律は満たさない((1,2)と(2,3)が含まれるが(1,3)が含まれるため一見満たされるように見えるが、他の組み合わせを調べると満たさないことがわかる。例えば、 (1,2) $\in$ R1 と (2,3) $\in$ R1 だが (1,3) $\in$ R1 なので、これだけ見ると満たされるように見えるが、推移律は全ての組み合わせについて成り立つ必要があるので、例えば (1,2) $\in$ R1 と (2,2) $\in$ R1 に対して、(1,2) $\in$ R1 である必要があり、これは満たされるが、もし(2,3)がなければ推移律を満たさない。)

* **R2:** 反射律は満たす。対称律は満たす。推移律は満たす。

* **R3:** 反射律は満たさない。対称律は満たす。推移律は満たさない((1,2)と(2,1)が含まれるが(1,1)が含まれていない)。

* **R4:** 反射律は満たす。対称律は満たす。推移律は満たさない((1,2)と(2,1)が含まれるが(1,1)が含まれる。(1,3)と(3,1)が含まれるが(1,1)が含まれる。しかし、(1,2)と(2,3)が含まれるのに(1,3)が含まれるが(3,1)はR4に含まれているものの、(3,2)は含まれていないので推移律を満たさない。)。

* **R5:** $x \mod 3 = y \mod 3$。反射律を満たす($x \mod 3 = x \mod 3$)。対称律を満たす($x \mod 3 = y \mod 3$ ならば $y \mod 3 = x \mod 3$)。推移律を満たす($x \mod 3 = y \mod 3$ かつ $y \mod 3 = z \mod 3$ ならば $x \mod 3 = z \mod 3$)。R5 = {(1,1), (1,4), (2,2), (2,5), (3,3), (1,1)}

$A = \{1, 2, 3\}$なので、R5 = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,1), (2,2), (3,3)} = {(1,1), (2,2), (3,3)}となる。

* **R6:** $|x| = |y|$。反射律を満たす($|x| = |x|$)。対称律を満たす($|x| = |y|$ ならば $|y| = |x|$)。推移律を満たす($|x| = |y|$ かつ $|y| = |z|$ ならば $|x| = |z|$)。R6 は B の部分集合の要素数についての関係なので、反射律、対称律、推移律を満たす。

* **R7:** $x \leq y$。反射律を満たす($x \leq x$)。対称律は満たさない($x \leq y$ ならば $y \leq x$ とは限らない)。推移律を満たす($x \leq y$ かつ $y \leq z$ ならば $x \leq z$)。