同じ大きさの5枚の正方形の板を1列に並べた掲示板を、赤、緑、青の3色のペンキで、隣り合う正方形が異なる色になるように塗り分ける。 (1) 塗り方の総数を求める。 (2) 左右対称となる塗り方の数を求める。 (3) 青色と緑色の2色だけで塗り分ける場合の数を求める。 (4) 赤色で塗られる正方形が1枚だけの場合の数を求める。

## 問題13

1. 問題の内容

同じ大きさの5枚の正方形の板を1列に並べた掲示板を、赤、緑、青の3色のペンキで、隣り合う正方形が異なる色になるように塗り分ける。

(1) 塗り方の総数を求める。

(2) 左右対称となる塗り方の数を求める。

(3) 青色と緑色の2色だけで塗り分ける場合の数を求める。

(4) 赤色で塗られる正方形が1枚だけの場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 塗り方の総数

* 最初の正方形の塗り方は3通り。

* 2番目以降の正方形の塗り方は、直前の正方形の色と異なる色を選ぶので、それぞれ2通り。

したがって、塗り方の総数は $3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$ 通り。

(2) 左右対称となる塗り方

5つの正方形の色を左から順にa, b, c, d, eとする。

左右対称の場合、a=e, b=dとなる。

* aの塗り方は3通り。

* bの塗り方は、aと異なる色なので2通り。

* cの塗り方は、bと異なる色なので2通り。

したがって、左右対称となる塗り方は $3 \times 2 \times 2 = 12$ 通り。

(3) 青色と緑色の2色だけで塗り分ける場合

* 最初の正方形の塗り方は2通り（青または緑）。

* 2番目以降の正方形の塗り方は、直前の正方形の色と異なる色を選ぶので、それぞれ1通り。

したがって、塗り方の総数は $2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 2$ 通り。

(4) 赤色に塗られる正方形が1枚だけの場合

赤色の位置によって場合分けする。

* 赤色が1番目の場合：1番目が赤、2番目は赤以外(緑か青)の2通り、3,4,5番目はそれぞれ直前の色と異なるので1通り。よって $1 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 2$ 通り

* 赤色が2番目の場合：1番目は赤以外(緑か青)の2通り、2番目が赤、3番目は赤以外(緑か青)の2通り、4,5番目はそれぞれ直前の色と異なるので1通り。よって $2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 4$ 通り

* 赤色が3番目の場合：1番目は2通り、2番目は直前の色と異なる1通り、3番目が赤、4番目は2通り、5番目は1通り。よって $2 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 = 4$ 通り

* 赤色が4番目の場合：1番目は2通り、2番目は1通り、3番目は2通り、4番目が赤、5番目は1通り。よって $2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 4$ 通り

* 赤色が5番目の場合：1番目は2通り、2番目は1通り、3番目は1通り、4番目は1通り、5番目が赤。よって $2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 2$ 通り

合計すると、$2 + 4 + 4 + 4 + 2 = 16$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 48通り

(2) 12通り

(3) 2通り

(4) 16通り