A, B, C, D, E の5文字を全て使ってできる順列を、辞書式順に並べたとき、56番目の文字列を求める問題です。ただし、ABCDE が1番目とします。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E の5文字を全て使ってできる順列を、辞書式順に並べたとき、56番目の文字列を求める問題です。ただし、ABCDE が1番目とします。

2. 解き方の手順

5つの文字 A, B, C, D, E を使った順列の総数は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

辞書式順に並べるので、先頭の文字から順番に確定していくことを考えます。

まず、先頭の文字が A である順列は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りあります。

先頭の文字が B である順列も $4! = 24$ 通りあります。

先頭の文字が C である順列も $4! = 24$ 通りあります。

したがって、先頭の文字が C までの順列は $24 + 24 + 24 = 72$ 通りとなります。

56番目の文字列は、先頭が C より前にあることがわかります。

$24 + 24 = 48$ 通りなので、56番目の文字列は、先頭がBまでの順列よりも後ろにあります。

したがって、先頭の文字は C であるとわかります。

C で始まる順列の中で、何番目の文字列かを考えます。

$56 - 48 = 8$ 番目になります。

次に、2番目の文字を考えます。C の次に A が来る順列は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

C の次に B が来る順列も $3! = 6$ 通りです。

CA で始まる順列は 6 通りなので、8番目の文字列は CA で始まる順列よりも後ろにあります。

したがって、2番目の文字は B であるとわかります。

CB で始まる順列の中で何番目の文字列かを考えます。

$8 - 6 = 2$ 番目になります。

次に、3番目の文字を考えます。CB の次に A が来る順列は $2! = 2$ 通りです。

CB の次に D が来る順列は $2! = 2$ 通りです。

CBA で始まる順列は 2 通りなので、2番目の文字列は CBA で始まる順列そのものです。

つまり、CBA で始まる順列の2番目の文字列は、CBADE となります。

3. 最終的な答え

CBADE