同じ大きさの5つの立方体からなる立体に沿って、最短距離で行く経路について考える。立方体のすべての辺上が通行可能であるとき、以下の経路の数を求めます。 (1) 地点Aから地点Bまでの最短経路 (2) 地点Aから地点Cまでの最短経路 (3) 地点Aから地点Dまでの最短経路 (4) 地点Aから地点Eまでの最短経路

1. 問題の内容

同じ大きさの5つの立方体からなる立体に沿って、最短距離で行く経路について考える。立方体のすべての辺上が通行可能であるとき、以下の経路の数を求めます。

(1) 地点Aから地点Bまでの最短経路

(2) 地点Aから地点Cまでの最短経路

(3) 地点Aから地点Dまでの最短経路

(4) 地点Aから地点Eまでの最短経路

2. 解き方の手順

(1) 地点Aから地点Bまでの最短経路：

地点Aから地点Bへ行くには、右に2回、下に2回移動する必要があります。したがって、4回の移動のうち、どちらを右にするか2回選ぶ場合の数になるので、${}_4C_2$を計算します。

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

(2) 地点Aから地点Cまでの最短経路：

地点Aから地点Cへ行くには、右に3回、下に2回移動する必要があります。したがって、5回の移動のうち、どちらを右にするか3回選ぶ場合の数になるので、${}_5C_3$を計算します（あるいは、下に移動する2回を選ぶので${}_5C_2$を計算しても同じです）。

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(3) 地点Aから地点Dまでの最短経路：

地点Aから地点Dへ行くには、まず地点Aから地点Bへ行く必要があります。その経路は(1)で計算したように6通りです。地点Bから地点Dへは1通りのみです。したがって、地点Aから地点Dまでの最短経路は$6 \times 1 = 6$通りです。

(4) 地点Aから地点Eまでの最短経路：

地点Aから地点Eへ行くには、まず地点Aから地点Dへ行く必要があります。その経路は(3)で計算したように6通りです。地点Dから地点Eへは1通りのみです。したがって、地点Aから地点Eまでの最短経路は$6 \times 1 = 6$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 地点Aから地点Bまでの最短経路：6通り

(2) 地点Aから地点Cまでの最短経路：10通り

(3) 地点Aから地点Dまでの最短経路：6通り

(4) 地点Aから地点Eまでの最短経路：6通り