右図のような道のある町で、PからQまで遠回りをしないで行く道の総数を求めます。以下の3つの場合について考えます。 (1) 全ての道順 (2) Rを通って行く場合 (3) ×印の箇所を通らないで行く場合

1. 問題の内容

右図のような道のある町で、PからQまで遠回りをしないで行く道の総数を求めます。以下の3つの場合について考えます。

(1) 全ての道順

(2) Rを通って行く場合

(3) ×印の箇所を通らないで行く場合

2. 解き方の手順

(1) 全ての道順

PからQまで行くには、右に6回、上に5回移動する必要があります。したがって、合計11回の移動のうち、右への移動を6回選ぶ組み合わせの数を求めればよいです。これは $_{11}C_6$ または $_{11}C_5$ で計算できます。

$_{11}C_5 = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

(2) Rを通って行く場合

PからRまで行く場合の数と、RからQまで行く場合の数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRまでは、右に2回、上に2回移動する必要があるので、$_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

RからQまでは、右に4回、上に3回移動する必要があるので、$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$ 通りです。

したがって、Rを通って行く場合の数は $6 \times 35 = 210$ 通りです。

(3) ×印の箇所を通らないで行く場合

×印の箇所をAとします。PからAに行く場合の数とAからQに行く場合の数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせることで、Aを通る経路を求めます。その後、全ての経路からAを通る経路を引くことで、Aを通らない経路を求めます。しかし、問題文に「×印の箇所を通らないで行く」と書かれているので、×印の箇所を通る経路を計算し、すべての経路から引く必要はありません。問題文の通り、 Pから×印の箇所まで行き、×印の箇所からQまで行く経路数を求めればよいです。

PからAまでは、右に2回、上に2回移動する必要があるので、$_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

AからQまでは、右に4回、上に3回移動する必要があるので、$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$ 通りです。

問題文から、図に×印が記入されている箇所は、右に2回、上に3回移動した地点と読めるため、Pから×印の地点に行く経路数は$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。×印の地点からQに行く経路数は、右に4回、上に2回移動する必要があるため、$_{6}C_4 = _{6}C_2 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。したがって、×印の箇所を通って行く場合の数は $10 \times 15 = 150$ 通りです。

×印を通らない経路数は、すべての経路数から×印を通る経路数を引くことで求められます。

$462 - 150 = 312$

解答用紙には、(3)の答えとして100通りと記載されていますが、これは誤りです。計算の過程で、$_{5}C_3$の計算が誤っている可能性があります。正しくは$_{5}C_3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1}=10$であり、$10 \times 10=100$となるので、この値が解答用紙に記載されていると思われます。ただし、上記で示したように、経路数を正しく求めると150通りとなり、すべての経路数からこの値を引くことで、×印を通らない経路数を312通りと求めることができます。

3. 最終的な答え

(1) 462通り

(2) 210通り

(3) 312通り