9人の生徒をいくつかのグループに分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合について、分け方を求めます。 * 4人と5人の2つの組に分ける方法 * 4人と3人と2人の3つの組に分ける方法 * 3人ずつA, B, Cの3組に分ける方法 * 3人ずつ3組に分ける方法 (A,B,C の区別がない場合)

1. 問題の内容

9人の生徒をいくつかのグループに分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合について、分け方を求めます。

* 4人と5人の2つの組に分ける方法

* 4人と3人と2人の3つの組に分ける方法

* 3人ずつA, B, Cの3組に分ける方法

* 3人ずつ3組に分ける方法 (A,B,C の区別がない場合)

2. 解き方の手順

(1) 4人と5人の2つの組に分ける方法

9人から4人を選ぶ組み合わせを考えれば良いので、

$_{9}C_{4}$ を計算します。

$_{9}C_{4} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) 4人と3人と2人の3つの組に分ける方法

まず9人から4人を選び、次に残りの5人から3人を選び、最後に残りの2人から2人を選びます。

$_{9}C_{4} \times _{5}C_{3} \times _{2}C_{2} = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$

(3) 3人ずつA, B, Cの3組に分ける方法

まず9人から3人を選びA組とし、次に残りの6人から3人を選びB組とし、最後に残りの3人から3人を選びC組とします。

$_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = 84 \times 20 \times 1 = 1680$

(4) 3人ずつ3組に分ける方法 (A,B,C の区別がない場合)

(3)で求めたA, B, Cの区別がある場合の数を、A, B, Cの並び方の数である3! = 6で割ります。

$\frac{1680}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$

3. 最終的な答え

* 4人と5人の2つの組に分ける方法は 126 通り

* 4人と3人と2人の3つの組に分ける方法は 1260 通り

* 3人ずつA, B, Cの3組に分ける方法は 1680 通り

* 3人ずつ3組に分ける方法は 280 通り