集合 $U, A, B$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ を求める問題です。ここで、 $U = \{x \mid x \text{は10より小さい自然数}\}$ $A = \{2x \mid x = 1, 2, 3, 4\}$ $B = \{3x \mid x = 1, 2\}$ です。

1. 問題の内容

集合 $U, A, B$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ を求める問題です。ここで、

$U = \{x \mid x \text{は10より小さい自然数}\}$

$A = \{2x \mid x = 1, 2, 3, 4\}$

$B = \{3x \mid x = 1, 2\}$

です。

2. 解き方の手順

まず、各集合の要素を具体的に書き出します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$A = \{2 \cdot 1, 2 \cdot 2, 2 \cdot 3, 2 \cdot 4\} = \{2, 4, 6, 8\}$

$B = \{3 \cdot 1, 3 \cdot 2\} = \{3, 6\}$

次に、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。$\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合であり、$\overline{B}$ は $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 9\}$

$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の共通部分なので、

$\overline{A} \cap B = \{3\}$

$A \cup \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の和集合なので、

$A \cup \overline{B} = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 9\} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap B = \{3\}$

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$