全体集合$U$を10以下の正の整数の集合とする。 $A$を2の倍数の集合、$B$を3の倍数の集合、$C$を4の倍数の集合とする。 以下の集合を求め、選択肢の中から記号で答えよ。 (1) $\overline{A} \cup \overline{C}$ (2) $\overline{B} \cap \overline{C}$ (3) $\overline{B \cup C}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (5) $A \cap B \cap C$ (6) $A \cup B \cup C$

1. 問題の内容

全体集合$U$を10以下の正の整数の集合とする。

$A$を2の倍数の集合、$B$を3の倍数の集合、$C$を4の倍数の集合とする。

以下の集合を求め、選択肢の中から記号で答えよ。

(1) $\overline{A} \cup \overline{C}$

(2) $\overline{B} \cap \overline{C}$

(3) $\overline{B \cup C}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(5) $A \cap B \cap C$

(6) $A \cup B \cup C$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの集合の要素を書き出す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$B = \{3, 6, 9\}$

$C = \{4, 8\}$

$\overline{A} = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{C} = U - C = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(1) $\overline{A} \cup \overline{C} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

選択肢より、サ

(2) $\overline{B} \cap \overline{C} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\} \cap \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\} = \{1, 2, 5, 7, 10\}$

選択肢より、カ

(3) $B \cup C = \{3, 6, 9\} \cup \{4, 8\} = \{3, 4, 6, 8, 9\}$

$\overline{B \cup C} = U - (B \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{3, 4, 6, 8, 9\} = \{1, 2, 5, 7, 10\}$

選択肢より、カ

(4) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\} = \{1, 5, 7\}$

選択肢に該当するものがない。問題文に誤りがあるか、選択肢に誤りがある。

ただし、問題文に「(重複解答可)」とあるので、$\{1, 5, 7\}$ に最も近いものを探す。

$\{1, 2, 5, 7, 10\}$があるが、$2$と$10$は含まれていない。

$\{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$も同様。

仮に$\overline{A \cup B}$を計算してみると、

$A \cup B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{3, 6, 9\} = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\} = \{1, 5, 7\}$

それでも選択肢に該当するものがない。

(5) $A \cap B \cap C = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cap \{3, 6, 9\} \cap \{4, 8\} = \{6\} \cap \{4, 8\} = \emptyset$

選択肢より、ア

(6) $A \cup B \cup C = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{3, 6, 9\} \cup \{4, 8\} = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$

選択肢より、ク

3. 最終的な答え

(1) サ

(2) カ

(3) カ

(4) 問題文もしくは選択肢に誤りがあるため、解答不能

(5) ア

(6) ク