全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられています。 $A$ は2の倍数の集合、$B$ は3の倍数の集合、$C$ は4の倍数の集合です。 以下の集合を表す記号を、選択肢の中から選びます。 (1) $\overline{A} \cup \overline{C}$ (2) $\overline{B} \cap \overline{C}$ (3) $\overline{B \cup \overline{C}}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (5) $A \cap B \cap C$ (6) $A \cup B \cup C$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられています。

$A$ は2の倍数の集合、$B$ は3の倍数の集合、$C$ は4の倍数の集合です。

以下の集合を表す記号を、選択肢の中から選びます。

(1) $\overline{A} \cup \overline{C}$

(2) $\overline{B} \cap \overline{C}$

(3) $\overline{B \cup \overline{C}}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(5) $A \cap B \cap C$

(6) $A \cup B \cup C$

2. 解き方の手順

まず、$A, B, C$ を具体的に書き出します。

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$B = \{3, 6, 9\}$

$C = \{4, 8\}$

次に、各集合演算を計算します。

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{A} \cup \overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

これは選択肢のサです。

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{B} \cap \overline{C} = \{1, 2, 5, 7, 10\}$

これは選択肢のカです。

(3) $\overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$B \cup \overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\} \cup \{3, 6, 9\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{B \cup \overline{C}} = \{4, 8\}$

これは選択肢のウです。

(4) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$

選択肢に存在しない。誤植の可能性を考慮して計算すると、

$\overline{A \cup B}$ を求める問題であると仮定すると、

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7\}$

選択肢に存在しない。

よって、問題のまま解くと、該当なしとなる。

(5) $A \cap B \cap C = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cap \{3, 6, 9\} \cap \{4, 8\} = \{6\} \cap \{4, 8\} = \emptyset$

これは選択肢のアです。

(6) $A \cup B \cup C = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{3, 6, 9\} \cup \{4, 8\} = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$

これは選択肢のクです。

(4)の問題を修正します.

$\overline{A \cup B}$　を求めると,

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7\}$

選択肢にはありません.

問題文に誤りがある可能性があります.

3. 最終的な答え

(1) サ

(2) カ

(3) ウ

(4) 解答なし

(5) ア

(6) ク