与えられた等式 $nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr$ が成り立つことを、組合せの考え方を用いて説明する。$n$個から$r$個取る組合せの総数 $nCr$を、取り出した$r$個の中に特定の1個を含む場合と、含まない場合に分けて考える。

1. 問題の内容

与えられた等式 $nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr$ が成り立つことを、組合せの考え方を用いて説明する。$n$個から$r$個取る組合せの総数 $nCr$を、取り出した$r$個の中に特定の1個を含む場合と、含まない場合に分けて考える。

2. 解き方の手順

組合せの考え方を用いる。$n$個のものから$r$個を選ぶことを考える。ここで、$n$個の中の特定の1個を$A$と呼ぶことにする。

* **$A$を含む場合:**

$r$個の中に$A$が必ず含まれる場合、残りの$r-1$個は、$A$以外の$n-1$個から選ぶ必要がある。したがって、この場合の選び方は $n-1Cr-1$ 通りである。

* **$A$を含まない場合:**

$r$個の中に$A$が全く含まれない場合、$r$個すべてを$A$以外の$n-1$個から選ぶ必要がある。したがって、この場合の選び方は $n-1Cr$ 通りである。

$n$個から$r$個を選ぶすべての場合の数は $nCr$ であり、これは $A$ を含む場合と含まない場合に尽くされる。したがって、$nCr$ は、$A$ を含む場合の数と$A$ を含まない場合の数の和に等しくなる。

$nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr$

3. 最終的な答え

$nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr$