集合 $A = \{x | x < -1, 4 < x\}$ と $B = \{x | x \le -3, 2 \le x\}$ が与えられたとき、以下の集合を求め、選択肢の中から記号で答える問題です。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

集合 $A = \{x | x < -1, 4 < x\}$ と $B = \{x | x \le -3, 2 \le x\}$ が与えられたとき、以下の集合を求め、選択肢の中から記号で答える問題です。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ と $B$ を整理します。

$A = \{x | x < -1 \} \cup \{x | 4 < x\}$

$B = \{x | x \le -3 \} \cup \{x | 2 \le x\}$

(1) $A \cap B$ を求めます。

$A \cap B = ( \{x | x < -1 \} \cup \{x | 4 < x\} ) \cap ( \{x | x \le -3 \} \cup \{x | 2 \le x\} )$

$A \cap B = (\{x | x < -1 \} \cap \{x | x \le -3 \}) \cup (\{x | x < -1 \} \cap \{x | 2 \le x \}) \cup (\{x | 4 < x \} \cap \{x | x \le -3 \}) \cup (\{x | 4 < x \} \cap \{x | 2 \le x \})$

$A \cap B = \{x | x \le -3 \} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \{x | 4 < x \}$

$A \cap B = \{x | x \le -3 \} \cup \{x | 4 < x \}$

これは選択肢の「イ. $\{x | x \le -3, 4 < x\}$」に対応します。

(2) $A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = ( \{x | x < -1 \} \cup \{x | 4 < x\} ) \cup ( \{x | x \le -3 \} \cup \{x | 2 \le x\} )$

$A \cup B = \{x | x < -1 \} \cup \{x | 4 < x\} \cup \{x | x \le -3 \} \cup \{x | 2 \le x\}$

$A \cup B = \{x | x \le -3 \} \cup \{x | x < -1 \} \cup \{x | 2 \le x\} \cup \{x | 4 < x\}$

$A \cup B = \{x | x < -1 \} \cup \{x | 2 \le x\}$

これは選択肢の「ア. $\{x | x < -1, 2 \le x\}$」に対応します。

(3) $\overline{A} \cap B$ を求めます。

$\overline{A} = \{x | -1 \le x \le 4 \}$

$\overline{A} \cap B = \{x | -1 \le x \le 4 \} \cap ( \{x | x \le -3 \} \cup \{x | 2 \le x\} )$

$\overline{A} \cap B = (\{x | -1 \le x \le 4 \} \cap \{x | x \le -3 \}) \cup (\{x | -1 \le x \le 4 \} \cap \{x | 2 \le x\})$

$\overline{A} \cap B = \emptyset \cup \{x | 2 \le x \le 4 \}$

$\overline{A} \cap B = \{x | 2 \le x \le 4 \}$

これは選択肢の「ケ. $\{x | 2 \le x \le 4\}$」に対応します。

(4) $A \cup \overline{B}$ を求めます。

$\overline{B} = \{x | -3 < x < 2 \}$

$A \cup \overline{B} = ( \{x | x < -1 \} \cup \{x | 4 < x\} ) \cup \{x | -3 < x < 2 \}$

$A \cup \overline{B} = \{x | x < -1 \} \cup \{x | 4 < x\} \cup \{x | -3 < x < 2 \}$

$A \cup \overline{B} = \{x | x < 2 \} \cup \{x | 4 < x\}$

これは選択肢の「ウ. $\{x | x < 2, 4 < x\}$」に対応します。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B$: イ

(2) $A \cup B$: ア

(3) $\overline{A} \cap B$: ケ

(4) $A \cup \overline{B}$: ウ