1年生2人、2年生2人、3年生3人の合計7人の生徒を横一列に並べる問題を考える。ただし、同じ学年の生徒であっても個人を区別する。 (1) 並び方の総数を求める。 (2) 両端に3年生が並ぶ並び方の総数を求める。 (3) 3年生の3人が隣り合う並び方の総数を求める。 (4) 1年生の2人、2年生の2人、3年生の3人がそれぞれ隣り合う並び方の総数を求める。

## 問題11

1. 問題の内容

1年生2人、2年生2人、3年生3人の合計7人の生徒を横一列に並べる問題を考える。ただし、同じ学年の生徒であっても個人を区別する。

(1) 並び方の総数を求める。

(2) 両端に3年生が並ぶ並び方の総数を求める。

(3) 3年生の3人が隣り合う並び方の総数を求める。

(4) 1年生の2人、2年生の2人、3年生の3人がそれぞれ隣り合う並び方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 7人全員の並び方なので、7! (7の階乗) を計算する。同じ学年の生徒がそれぞれ区別できるので、これで良い。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(2) まず両端に3年生を並べる。両端の並べ方は $3 \times 2 = 6$ 通り。残りの5人の並べ方は $5!$ 通り。したがって、求める並び方は $6 \times 5!$ 通り。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$6 \times 120 = 720$

(3) 3年生3人をまとめて1つのグループとして考え、残りの4人と合わせて5つのものを並べると考える。この5つのものの並べ方は $5!$ 通り。さらに、3年生の3人の並べ方は $3!$ 通り。したがって、求める並び方は $5! \times 3!$ 通り。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$

(4) 1年生、2年生、3年生それぞれのグループを1つの塊として並べる。3つの塊の並べ方は $3!$ 通り。1年生の2人の並べ方は $2!$ 通り。2年生の2人の並べ方も $2!$ 通り。3年生の3人の並べ方は $3!$ 通り。したがって、求める並び方は $3! \times 2! \times 2! \times 3!$ 通り。

$2! = 2 \times 1 = 2$

$3! \times 2! \times 2! \times 3! = 6 \times 2 \times 2 \times 6 = 144$

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 720通り

(3) 720通り

(4) 144通り