図のような街路があり、遠回りをしないという条件で、以下の2つの問題に答えます。 (7) AからBまで行くとき、Cを通る道順は何通りあるか。 (8) D地点が工事中で通行止めになっているとき、AからBまで行く道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

図のような街路があり、遠回りをしないという条件で、以下の2つの問題に答えます。

(7) AからBまで行くとき、Cを通る道順は何通りあるか。

(8) D地点が工事中で通行止めになっているとき、AからBまで行く道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(7) AからBまで行くとき、Cを通る道順の数

AからCまでの道順の数を計算します。AからCへは、右に2回、下に1回移動する必要があります。したがって、道順の数は、3回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$$

次に、CからBまでの道順の数を計算します。CからBへは、右に2回、下に2回移動する必要があります。したがって、道順の数は、4回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 6$$

したがって、AからCを経由してBまで行く道順の数は、AからCまでの道順の数とCからBまでの道順の数の積になります。

$$3 \times 6 = 18$$

(8) D地点が工事中で通行止めになっているとき、AからBまで行く道順の数

まず、D地点を通らないでAからBに行くすべての道順の数を計算します。AからBへは、右に4回、下に3回移動する必要があります。したがって、AからBまでのすべての道順の数は、7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$

次に、AからDを経由してBまで行く道順の数を計算します。AからDへは、右に3回、下に1回移動する必要があります。したがって、AからDまでの道順の数は、4回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$${}_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4$$

次に、DからBまでの道順の数を計算します。DからBへは、右に1回、下に2回移動する必要があります。したがって、DからBまでの道順の数は、3回の移動のうち、右への移動を1回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

$${}_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$$

したがって、AからDを経由してBまで行く道順の数は、AからDまでの道順の数とDからBまでの道順の数の積になります。

$$4 \times 3 = 12$$

したがって、D地点を通らないでAからBまで行く道順の数は、AからBまでのすべての道順の数から、AからDを経由してBまで行く道順の数を引いたものになります。

$$35 - 12 = 23$$

3. 最終的な答え

(7) 18通り

(8) 23通り