42人の生徒のうち、自転車利用者が35人、電車利用者が30人である。 - どちらも利用していない生徒の最大人数を求める。 - 両方とも利用している生徒の最小人数を求める。 - 自転車だけを利用している生徒の最小人数と最大人数を求める。

1. 問題の内容

42人の生徒のうち、自転車利用者が35人、電車利用者が30人である。

- どちらも利用していない生徒の最大人数を求める。

- 両方とも利用している生徒の最小人数を求める。

- 自転車だけを利用している生徒の最小人数と最大人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベン図を用いて考える。

全体を42人とし、自転車利用者の集合をA、電車利用者の集合をBとする。

Aの要素数は35、Bの要素数は30である。

(1) どちらも利用していない生徒の最大人数

AとBの和集合の要素数が最小となるとき、どちらも利用していない生徒の人数は最大となる。

AとBの共通部分が最大となるとき、AとBの和集合の要素数は最小となる。

BはAに含まれる時、AとBの和集合はAとなるので、和集合の要素数は35となる。

したがって、どちらも利用していない生徒の最大人数は $42 - 35 = 7$ 人である。

(2) 両方とも利用している生徒の最小人数

AとBの和集合の要素数が最大となるとき、AとBの共通部分の要素数は最小となる。

AとBの和集合の要素数の最大値は42人である。

和集合の公式より、

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

$|A \cap B| = 35 + 30 - |A \cup B|$

$|A \cap B|$ が最小となるのは $|A \cup B|$ が最大となるときなので、

$|A \cap B| = 35 + 30 - 42 = 65 - 42 = 23$

したがって、両方とも利用している生徒の最小人数は23人である。

(3) 自転車だけを利用している生徒の最小人数と最大人数

自転車だけを利用している生徒の人数は $35 - |A \cap B|$ で表される。

$|A \cap B|$ が最大となるとき、自転車だけを利用している生徒の人数は最小となる。

$|A \cap B|$ の最大値は、30（電車利用者数）である。

このとき、自転車だけを利用している生徒の人数は $35 - 30 = 5$ 人となる。

$|A \cap B|$ が最小となるとき、自転車だけを利用している生徒の人数は最大となる。

$|A \cap B|$ の最小値は23人である。

このとき、自転車だけを利用している生徒の人数は $35 - 23 = 12$ 人となる。

3. 最終的な答え

- どちらも利用していない生徒は多くても 7 人である。

- 両方とも利用している生徒は少なくとも 23 人いる。

- 自転車だけ利用している生徒は少なくとも 5 人、多くても 12 人である。