2つの集合A, Bがあり、$n(A) + n(B) = 10$ かつ $n(A \cup B) = 7$であるとき、$n(\overline{A \cap B}) + n(A \cap \overline{B})$ を求める。ここで$n(X)$は集合Xの要素の個数、$A \cup B$はAとBの和集合、$\overline{X}$ は集合Xの補集合を表す。

1. 問題の内容

2つの集合A, Bがあり、$n(A) + n(B) = 10$ かつ $n(A \cup B) = 7$であるとき、$n(\overline{A \cap B}) + n(A \cap \overline{B})$ を求める。ここで$n(X)$は集合Xの要素の個数、$A \cup B$はAとBの和集合、$\overline{X}$ は集合Xの補集合を表す。

2. 解き方の手順

まず、集合の要素の個数に関する基本的な公式を確認する。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

この公式に与えられた値を代入する。

$7 = 10 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 10 - 7 = 3$

次に、$n(\overline{A \cap B}) + n(A \cap \overline{B})$ を求めることを考える。

ベン図を用いて、集合の関係性を視覚的に捉えると、$n(\overline{A \cap B}) + n(A \cap \overline{B})$ は、全体集合から $A \cap B$ の領域を取り除いた部分と、$A$ に含まれていて $B$ に含まれていない部分の要素の個数を足し合わせたものである。

$n(A \cap \overline{B})$ は、$A$ から $A \cap B$ を取り除いた部分の要素の個数、つまり $n(A) - n(A \cap B)$ である。

求める式は、 $n(\overline{A \cap B}) + n(A \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cap B}) + n(A) - n(A \cap B)$ となる。

ここで、$n(A) + n(B) = 10$ と $n(A \cap B) = 3$ は既に求めているので、これらの情報を活用する。

しかし、$n(\overline{A \cap B})$ を求める方法が直接的にはない。

問題文に誤りがないか確認する必要がある。

問題文は$n(\overline{A \cap B}) + n(A \cap \overline{B})$ではなく、$n(\overline{(A \cap B)}) + n(A \cap \overline{B})$と解釈することにする。

$n(\overline{(A \cap B)})$は全体集合をUとすると、$n(U) - n(A \cap B)$と表せる。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

したがって、$n(\overline{(A \cap B)}) + n(A \cap \overline{B})=n(U) - n(A \cap B) + n(A) - n(A \cap B) = n(U)+n(A) - 2n(A \cap B)$

さらに$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$から$n(A)= n(A \cup B) - n(B) + n(A \cap B)$

$n(\overline{(A \cap B)}) + n(A \cap \overline{B})=n(U)+n(A \cup B) - n(B) + n(A \cap B) - 2n(A \cap B) = n(U) + n(A \cup B)- n(B) - n(A \cap B)$

与えられた情報だけでは$n(U)$と$n(B)$が不明なので計算できない。

問題文の$n(\overline{A \cap B}) + n(A \cap \overline{B})$を$n(A \setminus B) + n(B \setminus A)$と解釈する。

$n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B)$

$n(B \setminus A) = n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \setminus B) + n(B \setminus A) = n(A) - n(A \cap B) + n(B) - n(A \cap B) = n(A) + n(B) - 2n(A \cap B)$

$= 10 - 2 * 3 = 10 - 6 = 4$

3. 最終的な答え

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