全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$、 $B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、次の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A \cap B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$ (7) $A \cup \overline{B}$ (8) $\overline{A} \cup B$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$、 $B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、次の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A \cap B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$

(7) $A \cup \overline{B}$

(8) $\overline{A} \cup B$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$: 全体集合 $U$ から $A$ の要素を取り除いたもの。

(2) $\overline{B}$: 全体集合 $U$ から $B$ の要素を取り除いたもの。

(3) $\overline{A \cap B}$: まず、$A \cap B$ を求め、$U$ からその要素を取り除く。

(4) $\overline{A \cup B}$: まず、$A \cup B$ を求め、$U$ からその要素を取り除く。

(5) $\overline{A} \cap B$: $\overline{A}$ と $B$ の共通部分を求める。

(6) $A \cap \overline{B}$: $A$ と $\overline{B}$ の共通部分を求める。

(7) $A \cup \overline{B}$: $A$ と $\overline{B}$ の和集合を求める。

(8) $\overline{A} \cup B$: $\overline{A}$ と $B$ の和集合を求める。

計算

$A = \{2, 3, 5, 7\}$

$B = \{3, 4, 5\}$

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(1) $\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cap B = \{3, 5\}$

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 6, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{1, 4, 6, 8, 9\} \cap \{3, 4, 5\} = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\} \cap \{1, 2, 6, 7, 8, 9\} = \{2, 7\}$

(7) $A \cup \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 2, 6, 7, 8, 9\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $\overline{A} \cup B = \{1, 4, 6, 8, 9\} \cup \{3, 4, 5\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{1, 6, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(7) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $\overline{A} \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$